motivation
如果逻辑回归的特征有很多,会造出现一些列问题,比如:
线性假设的限制: 逻辑回归是基于线性假设的分类模型,即认为特征与输出之间的关系是线性的。如果特征非常多或者特征与输出之间的关系是非线性的,逻辑回归可能无法很好地进行分类。
特征间相关性: 如果特征之间高度相关,逻辑回归可能会受到多重共线性的影响,导致参数估计不稳定或难以解释。
非线性决策边界的需求: 在复杂的分类问题中,数据可能需要非线性的决策边界来更好地进行分类。
相比之下,神经网络有一系列的优势:
非线性关系建模: 神经网络能够学习复杂的非线性关系,因此在特征与输出之间存在非线性关系或需要复杂的决策边界时,神经网络通常能提供更好的性能。
自动特征学习: 神经网络能够通过隐藏层自动学习特征的高级表示,无需手动进行特征工程,这对于大量特征的问题尤为有利。
适应性强: 神经网络通常对数据中的噪声和复杂性具有一定的鲁棒性,能够更好地泛化到新的数据集。
简单人工神经网络
那么简单介绍一下神将网络:
上面是一个简单人工神经网络,x1-->x3是输入的特征,每个特征都会乘上相应的参数最后得到一个值。(这样看起来和线性回归差不多)
复杂神经网络(旧版本)
接下来介绍一个稍微复杂一点的:
首先定义一些术语:
第i层,第j个神经元的激活项 | |
从j层到j+1层的权重矩阵(注意,行从1开始,列从0开始) | |
激活项 | 由一个神经元接受并输出的值 |
注意:
其中g是激活函数。
这里可能不容易理解:
其实是一个矩阵:
上图其实还有一个隐藏的没有画出。就像第一个图一样,这个
是用来调节参数的。
在上图中表示:第二层的第i个神经元接受第一层的第j个特征值,形成的参数(权重)。权重乘上相应的数值得到的值(这个神经元接受前面的所有的神经元传递给他的值的和)(如上
是由前面x0,x1,x2,x3传递给第二层第一个神经元得到
,再通过激活函数g映射得到数值。)
得到结论:
一个神经网络的第j层有个单元,第(j+1)层有
个单元,那么从j到(j+1)层的权重矩阵属于
。即形状为
。
复杂神经网络(新版本)
我们再来看一下另一种解释(其实本质差不多,只不过最新的术语有些改变)
第i层输入出向量 | |
这个神经元的权重 | |
这里面x就是一个特征向量矩阵,叫做0层(layer0),与上面一个版本有所不同,上面一个版本吧输入的x叫做layer1。这里面,我们把每一个圆形叫做一个“神经元”,每个神经元都有两个参数,分别是向量和参数b。这个向量
的维度与其前一层神经元的个数有关,如果前一层神经元有n个那么这个向量
就是n维,因为这样才可以出现下面图展示的:
这里可以简化为:
注意:每一层的g函数是一样的,不同层的g函数可以不一样。为了统一,我们经常把输入层(layer0)叫做(
)
向前传播(预测)
接下来看一下如何前向传播(通俗点讲叫预测,注意不包含训练)
我们将预测图像显示的是1 or 0。
下面的一个图像是灰度像素展示,是一个1。
我们按照行,把每行首尾相连,组合成一个8*8=64维的向量,把它作为x(输入层,)。
然后我们搭建我们的神经网络:
计算过程:
![](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/6b41a96498d249668642643965b3c17b.png)
向前传播在python中实现:
已知有上面的神经网络。
将这几个权重整合在一起:
w = np.array([
[1, -3, 5],
[2, 4, -6]
])
注意,是两行三列,
b = np.array([-1, 1, 2])
a_in = np.array([-2, 4])
接下来要创建一个函数用来搭建每一层网络。
def dense(a_in, W, b, g):
units = W.shape[1] # 计算这一层有多少个单元
a_out = np.zeros(units) # 初始化输出
for i in range(units):
w = W[:, i] # 取出W的第j列,也就是第j个单元的w向量,注意这里取出的w是1D向量
z = np.dot(w, a_in) + b[i] # 这里的a_in也是1D向量
a_out[i]=g(z) #g为激活函数
return a_out
虽然已经有了网络,但是如何将已经有的网络连接起来呢?
还要建立一个函数:
def sequential(x):
a1 = dense(x, W1, b1, g)
a2 = dense(a1, W2, b2, g)
a3 = dense(a2, W3, b3, g)
a4 = dense(a3, W4, b4, g)
f_x = a4
return f_x
代码的高效实现
W = np.array([
[1, -3, 5],
[2, 4, -6]
]) #不变
B = np.array([[-1, 1, 2]]) #变成二维
X = np.array([[-2, 4]]) #变成二维
def dense(A_in, W, B):
Z = np.matmul(A_in, W) + B #这个方法不支持标量
A_out = g(Z)
return A_out
训练网络
对于下面网络:
我们调用tensorflow库,实现下面代码:
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
model = Sequential(
[
Dense(units=25,activation='sigmoid')
Dense(units=15,activation='sigmoid')
Dense(units=1,activation='sigmoid')
]
)
from tensorflow.keras.losses import BinaryCrossentropy
model.compile(loss=BinaryCrossentropy)
model.fit(X,Y,epochs=100)
注意,这里的tensorflow由于版本问题,可能不含keras,可以直接下载keras这个包。(自己搞了半天才研究出来,大哭)
注意上面的步骤:
- model = Sequential(..)
- model.compile(loss=...)
- model.fit(X,y,epochs=100)