计算机组成原理——浮点加减运算的一道非计算例题

一、题目

• 文字描述

  例6.31设机器数字长16位，阶码5位（含1位阶符），基值为2，尾数11位（含1位数符）。 对千两个阶码相等的数按补码浮点加法完成后，由于规格化操作可能出现的最大误差的绝对值 是多少？

• 题目原图

二、个人疑问以及理解

• 疑问

  最开始看这道例题，我看不懂为什么答案（带绝对值的）是$2^4$。

• 解答

  题目给定尾数有11位，其中含1位符号位，那么数值位为10位。假设有以下数：
  $$\text{00, 1110 ; 01.XXXX XXXX X1 }$$
  很明显，我们处理的中间值（完成对阶和尾数加减后）两位符号位为01，意味着需要右规。

  很不巧，我们的尾数数值部分最后1位为1，右规后将被丢弃，如下所示：
  $$\text{00, }\underset{\text{15}}{\underbrace{\text{1111}}}\text{ ; 00.}\underset{10\text{位数值位}}{\underbrace{\text{1XXX XXXX XX}}}\underset{\text{丢弃}}{\underbrace{1}}$$
  我们可以观察到，右规后，尾数低位丢弃了1，这个1就是导致误差存在的原因，那么它会导致多大的误差呢？

  这里我们做个假设好吧，我们假设这个1没有被丢弃，并且此时我要把这个浮点数还原为原码表示：阶码为15（已经是能表示的最大值了），我们把尾数往左移15位，然后阶码变为0，得到如下值：
  $$\text{1X XXXX XXX1 0000.0}$$
  我们仔细审视这串二进制码，你会发现原来被丢弃的1，在我们假设不丢弃然后左移阶码（15）位后还原成了它的真实应该表示的值（16，即1 0000）。

  而实际上我们右规要把它丢弃，丢弃了那就变成了：
  $$\text{1X XXXX XXX0 0000.0}$$
  很明显，两者差距就是$2^4=16$，因此误差的绝对值就是$2^4$，或者是$(10000{)}_2$

有时候真感觉自己傻傻的，别人想一会就能搞定的东西，自己得想好久；可喜的是，还能理解。

三、心灵的救赎

如果想征服生命中的焦虑，活在当下，活在每一个呼吸里。——马特·海格