用泰勒级数来描述微小振动和波动的行为 - 公式详解版

用泰勒级数来描述微小振动和波动的行为 - 公式详解版

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1. 简谐振动（Harmonic Oscillator）

势能函数（Potential Energy Function） 势能函数 $V(x)$ 描述了系统在位移 $x$ 处的势能。对于一个简谐振子（如弹簧振子），势能函数为：$V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
其中：

• $V(x)$: 势能 (Potential Energy)，单位为焦耳 (Joules, J)

• $k$: 弹簧常数 (Spring Constant)，单位为牛顿每米 (N/m)

• $x$: 位移 (Displacement)，单位为米 (Meters, m)
  运动方程（Equation of Motion） 通过牛顿第二定律 $F=ma$ 和胡克定律 $F=-kx$，得到系统的运动方程：$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$
  其中：

• $m$: 质量 (Mass)，单位为千克 (Kilograms, kg)

• $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$: 加速度 (Acceleration)，单位为米每二次方秒 (m/s^2)

• $k$: 弹簧常数 (Spring Constant)，单位为牛顿每米 (N/m)

• $x$: 位移 (Displacement)，单位为米 (Meters, m)
  简谐解（Harmonic Solution）
  对于简谐振动，运动方程的解为：
  $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$
  其中：

• $x(t)$: 时间 $t$ 时的位移 (Displacement at time $t$)，单位为米 (Meters, m)

• $A$: 振幅 (Amplitude)，单位为米 (Meters, m)

• $\omega$: 角频率 (Angular Frequency)，单位为弧度每秒 (Radians per second, rad/s)

• $t$: 时间 (Time)，单位为秒 (Seconds, s)

• $\varphi$: 相位角 (Phase Angle)，单位为弧度 (Radians, rad)

2. 波动方程（Wave Equation）

一维波动方程（One-Dimensional Wave Equation）
描述一维波动的基本方程为：
$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$
其中：

• $u(x,t)$: 在位置 $x$ 和时间 $t$ 的位移 (Displacement at position $x$ and time $t$)，单位为米 (Meters, m)

• $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$: 对时间的二阶偏导数 (Second partial derivative with respect to time)，单位为米每二次方秒 (m/s^2)

• $c$: 波速 (Wave Speed)，单位为米每秒 (Meters per second, m/s)

• $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$: 对位置的二阶偏导数 (Second partial derivative with respect to position)，单位为米每二次方米 (1/m)
  波的解（Solution of the Wave）
  波动方程的通解通常可以表示为简谐波的叠加：
  $u(x,t)={\sum }_n{A}_n\cos (k_{n}x-{\omega }_{n}t+{\varphi }_n)$
  其中：

• $u(x,t)$: 在位置 $x$ 和时间 $t$ 的位移 (Displacement at position $x$ and time $t$)，单位为米 (Meters, m)

• $A_n$: 第 $n$ 个简谐波的振幅 (Amplitude of the $n$-th harmonic)，单位为米 (Meters, m)

• $k_n$: 波数 (Wave Number) 为 $\frac{2\pi }{{\lambda }_n}$，单位为弧度每米 (Radians per meter, rad/m)

• ${\lambda }_n$: 波长 (Wavelength) 为 $\frac{2\pi }{k_n}$，单位为米 (Meters, m)

• ${\omega }_n$: 角频率 (Angular Frequency) 为 $2\pi f_n$，单位为弧度每秒 (Radians per second, rad/s)

• $f_n$: 频率 (Frequency)，单位为赫兹 (Hertz, Hz)

• ${\varphi }_n$: 相位角 (Phase Angle)，单位为弧度 (Radians, rad)

• $t$: 时间 (Time)，单位为秒 (Seconds, s)

• $x$: 位置 (Position)，单位为米 (Meters, m)

3. 微小振动的稳定性分析（Stability Analysis of Small Oscillations）

势能函数（Potential Energy Function） 对于一个一般系统，势能函数 $V(x)$ 在平衡位置 $x_0$ 附近展开：$V(x)\approx V(x_0)+\frac{1}{2}{V}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$
其中：

• $V(x)$: 势能 (Potential Energy)，单位为焦耳 (Joules, J)

• $x$: 位移 (Displacement)，单位为米 (Meters, m)

• $x_0$: 平衡位置 (Equilibrium Position)，单位为米 (Meters, m)

• $V^{\prime \prime }(x_0)$: 势能函数在平衡位置的二阶导数 (Second derivative of potential energy function at equilibrium position)，单位为焦耳每二次方米 (J/m²)
  运动方程（Equation of Motion）
  线性化的运动方程为：
  $m\frac{d^2(\delta x)}{d{t}^2}\approx -V^{\prime \prime }(x_0)\delta x$
  其中：

• $\delta x$: 小位移 (Small displacement)，单位为米 (Meters, m)

• $m$: 质量 (Mass)，单位为千克 (Kilograms, kg)

• $\frac{d^2(\delta x)}{d{t}^2}$: 小位移的加速度 (Acceleration of small displacement)，单位为米每二次方秒 (m/s²)

• $V^{\prime \prime }(x_0)$: 势能函数在平衡位置的二阶导数 (Second derivative of potential energy function at equilibrium position)，单位为焦耳每二次方米 (J/m²)

4. 具体应用例子（Specific Application Examples）

例子 1: 单摆的微小振动（Small Oscillations of a Pendulum）

势能函数（Potential Energy Function）
单摆的势能函数为：
$V(\theta )=mgL(1-\cos (\theta ))$
其中：

• $V(\theta )$: 势能 (Potential Energy)，单位为焦耳 (Joules, J)

• $m$: 摆锤的质量 (Mass of the pendulum)，单位为千克 (Kilograms, kg)

• $g$: 重力加速度 (Gravitational acceleration)，单位为米每二次方秒 (m/s²)

• $L$: 摆长 (Length of the pendulum)，单位为米 (Meters, m)

• $\theta$: 偏角 (Angle of displacement)，单位为弧度 (Radians, rad)
  在 $\theta \approx 0$ 附近展开：$V(\theta )\approx mgL\left(1-\left(1-\frac{{\theta }^2}{2}\right)\right)=\frac{1}{2}mgL{\theta }^2$运动方程（Equation of Motion）
  运动方程变为：
  $mL\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\approx -mgL\theta$
  解为简谐振动：
  $\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{L}}t+\varphi \right)$

例子 2: 弦的微小振动（Small Vibrations of a String）

波动方程（Wave Equation）
对于固定在两端的弦，波动方程为：
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$
其中：

• $y(x,t)$: 弦在位置 $x$ 和时间 $t$ 的位移 (Displacement of the string at position $x$ and time $t$)，单位为米 (Meters, m)

• $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}$: 对时间的二阶偏导数 (Second partial derivative with respect to time)，单位为米每二次方秒 (m/s²)

• $c$: 波速 (Wave Speed)，单位为米每秒 (Meters per second, m/s)

• $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$: 对位置的二阶偏导数 (Second partial derivative with respect to position)，单位为米每二次方米 (1/m)
  波的解（Solution of the Wave）
  采用分离变量法，解为：
  $y(x,t)={\sum }_{n=1}^{\infty }\left(A_n\cos \left(\frac{n\pi c}{L}t\right)+B_n\sin \left(\frac{n\pi c}{L}t\right)\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$
  其中：

• $y(x,t)$: 弦在位置 $x$ 和时间 $t$ 的位移 (Displacement of the string at position $x$ and time $t$)，单位为米 (Meters, m)

• $A_n$: 第 $n$ 个简谐波的余弦项振幅 (Amplitude of the cosine term of the $n$-th harmonic)，单位为米 (Meters, m)

• $B_n$: 第 $n$ 个简谐波的正弦项振幅 (Amplitude of the sine term of the $n$-th harmonic)，单位为米 (Meters, m)

• $\frac{n\pi c}{L}$: 第 $n$ 个简谐波的角频率 (Angular frequency of the $n$-th harmonic)，单位为弧度每秒 (Radians per second, rad/s)

• $\frac{n\pi x}{L}$: 第 $n$ 个简谐波的波数 (Wave number of the $n$-th harmonic)，单位为弧度每米 (Radians per meter, rad/m)

• $c$: 波速 (Wave Speed)，单位为米每秒 (Meters per second, m/s)

• $L$: 弦的长度 (Length of the string)，单位为米 (Meters, m)