用泰勒级数来描述微小振动和波动的行为 - 介绍版

用泰勒级数来描述微小振动和波动的行为 - 介绍版

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1. 简谐振动（Harmonic Oscillator）

简谐振动是物理学中一个经典的例子，涉及到系统在稳定平衡点附近的振动行为。考虑一个质量 $m$ 在弹簧上的振动，弹簧常数为 $k$，位移 $x$ 满足胡克定律：$F=-kx$
胡克定律（Hooke‘s Law）

势能函数

势能函数 $V(x)$ 可以表示为：$$V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$对于小位移 $x$ 来说，可以将势能函数在平衡位置 $x=0$ 处展开成泰勒级数：$$V(x)\approx V(0)+V^{\prime }(0)x+\frac{1}{2}{V}^{\prime \prime }(0)x^2+\cdots$$由于在平衡位置处，势能的导数为零 $V^{\prime }(0)=0$，并且 $V(0)=0$（选择参考点），我们得到：$$V(x)\approx \frac{1}{2}k{x}^2$$
这表明在平衡位置附近，势能是位移的平方形式，系统的运动可以描述为简谐振动。

运动方程

牛顿第二定律（加速度定律）
由牛顿第二定律 $F=ma$，结合胡克定律 $F=-kx$，得到：$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$
这是一阶近似下的运动方程，解为简谐振动：
$$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$其中 $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ 是角频率。

2. 波动方程（Wave Equation）

波动方程 - 式子的读法和含义
波动方程 - 波动方程是个什么方程
波动方程 - 在三维图中动态显示二维波动方程的解就像水面波澜起伏
波动方程 - 二阶偏导数
在描述波动现象时，泰勒级数同样起到了重要作用。考虑一维波动方程：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$这里 $u(x,t)$ 表示波在位置 $x$ 和时间 $t$ 的位移，$c$ 是波速。

小振幅近似

对于小振幅波动，可以将波动方程线性化，假设 $u$ 是小量，在此情况下，系统可以用泰勒级数展开近似表示。

波的叠加原理

叠加的正弦波逼近一个矩形波

小振幅波动通常可以用线性叠加原理来处理，即多个简谐波的叠加。考虑以下解的形式：
$$u(x,t)=\sum _n{A}_n\cos (k_{n}x-{\omega }_{n}t+{\varphi }_n)$$
这表明，任何复杂的波动都可以看作是多个简谐波的叠加，简谐波可以用泰勒级数展开近似描述。

3. 微小振动的稳定性分析

泰勒级数也用于分析系统在平衡位置附近的稳定性。考虑一个系统的势能函数 $V(x)$，我们在平衡位置 $x_0$ 附近展开：$$V(x)\approx V(x_0)+\frac{1}{2}{V}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$$对于小扰动 $\delta x=x-x_0$，系统的运动方程可以线性化：$$m\frac{d^2(\delta x)}{d{t}^2}\approx -V^{\prime \prime }(x_0)\delta x$$这描述了一个简谐振动，频率由 $V^{\prime \prime }(x_0)$ 决定，表明系统在平衡位置附近的稳定性。

4. 具体应用例子

例子 1: 单摆的微小振动

单摆的势能函数为 $V(\theta )=mgL(1-\cos (\theta ))$，在 $\theta$ 近似为 0 附近展开：$$V(\theta )\approx mgL\left(1-\left(1-\frac{{\theta }^2}{2}\right)\right)=\frac{1}{2}mgL{\theta }^2$$
从而运动方程变为：
$$mL\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\approx -mgL\theta$$
解为简谐振动：
$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{L}}t+\varphi \right)$$

例子 2: 弦的微小振动

对于固定在两端的弦，波动方程为：
$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
采用分离变量法，解为：
$$y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_n\cos \left(\frac{n\pi c}{L}t\right)+B_n\sin \left(\frac{n\pi c}{L}t\right)\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$
这些解都是简谐波的叠加，上面弦的振动是通过泰勒级数展开近似描述的。