文章目录
0. 推导前置知识
- 无穷级数审敛法
- 第二重要极限
- 定积分意义
- w a l l i s wallis wallis(点火)公式
- 泰勒展开
1. 证明一
该证明来自百度百科
令 a n = n ! n n + 1 2 e − n a_n =\frac{n!}{n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}} an=nn+21e−nn!
则 a n a n + 1 = 1 e ( 1 + 1 n ) n ( 1 + 1 n ) 1 2 \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{e}(1+\frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{2}} an+1an=e1(1+n1)n(1+n1)21
lim n → ∞ a n a n + 1 > lim n → ∞ 1 e ( 1 + 1 n ) n = 1 \lim_{n \to \infin} \frac{a_n}{a_{n+1}} \gt \lim_{n \to \infin}\frac{1}{e} (1+\frac{1}{n})^n = 1 limn→∞an+1an>limn→∞e1(1+n1)n=1
即 lim n → ∞ a n a n + 1 > 1 \lim _{n \to \infin}\frac{a_n}{a_{n+1}} \gt1 limn→∞an+1an>1, ∃ N ∈ N + , n > N : { a n } \exist N \in N_+,n \gt N:\{a_n\} ∃N∈N+,n>N:{an}单调递减。
由积分放缩法我们可以得到
ln n ! > ln n n + 1 2 e − n = ( n + 1 2 ) ln n − n \ln n! \gt \ln n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n} =(n+\frac{1}{2})\ln n-n lnn!>lnnn+21e−n=(n+21)lnn−n
为不影响证明的大体逻辑和篇幅,对该不等式放在文章后面证明。
即 n ! > n n + 1 2 e − n n! \gt n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n} n!>nn+21e−n, a n > 1 a_n \gt 1 an>1
数列 { a n } \{a_n\} {an}单调递减有下界, lim n → ∞ a n = A \lim_{n \to \infin}a_n=A limn→∞an=A存在。
后续证明主要思路是用 w a l l i s wallis wallis乘积公式来凑 s t i r i n g stiring stiring公式。
由 w a l l i s wallis wallis公式我们可以得到
lim n → ∞ ( 2 n ! ! ) 2 ( 2 n + 1 ! ! ) ( 2 n − 1 ! ! ) = π 2 lim n → ∞ ( 2 n ! ! ) 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 ! ! ) 2 = π 2 lim n → ∞ ( 2 n ! ! ) 2 n + 1 ( 2 n − 1 ! ! ) = π 2 ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ∼ ( 2 n + 1 ) π 2 ( n → ∞ ) \lim_{n \to \infin}\frac{(2n!!)^2}{(2n+1!!)(2n-1!!)}=\frac{\pi}{2}\\ \lim_{n \to \infin}\frac{(2n!!)^2}{(2n+1)(2n-1!!)^2}=\frac{\pi}{2}\\ \lim_{n \to \infin}\frac{(2n!!)}{\sqrt{2n+1}(2n-1!!)}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\\ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\sim \sqrt{\frac{(2n+1) \pi}{2}} \quad (n \to \infin) n→∞lim(2n+1!!)(2n−1!!)(2n!!)2=2πn→∞lim(2n+1)(2n−1!!)2(2n!!)2=2πn→∞lim2n+1(2n−1!!)(2n!!)=2π(2n−1)!!(2n)!!∼2(2n+1)π(n→∞)
我们容易得到
lim n → ∞ a n = lim n → ∞ a 2 n = lim n → ∞ a n 2 a 2 n \lim_{n \to \infin}a_n=\lim_{n \to \infin} a_{2n}= \lim_{n\to \infin} \frac{a_n^2}{a_{2n}} n→∞liman=n→∞lima2n=n→∞lima2nan2
又
lim n → ∞ a n 2 a 2 n = lim n → ∞ ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! × ( 2 n ) 2 n + 1 2 n 2 n + 1 = lim n → ∞ ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! × 2 2 n + 1 2 n \lim_{n\to \infin}\frac{a_n^2}{a_{2n}}= \lim_{n \to \infin} \frac{(n!)^2}{(2n)!}\times\frac{(2n)^{2n+\frac{1}{2}}}{n^{2n+1}}=\lim_{n \to \infin} \frac{(n!)^2}{(2n)!}\times\frac{2^{2n+\frac{1}{2}}}{\sqrt{n}} n→∞lima2nan2=n→∞lim(2n)!(n!)2×n2n+1(2n)2n+21=n→∞lim(2n)!(n!)2×n22n+21
容易得到下列等式
( 2 n ) ! ! = 2 n × n ! n ! = 2 − n × ( 2 n ) ! ! ( n ! ) 2 = 2 − 2 n × [ ( 2 n ) ! ! ] 2 ( 2 n ) ! = ( 2 n ) ! ! × ( 2 n − 1 ) ! ! (2n)!!=2^n\times n!\\ n!=2^{-n}\times(2n)!!\\ (n!)^2=2^{-2n}\times[(2n)!!]^2\\ (2n)!=(2n)!! \times(2n-1)!! (2n)!!=2n×n!n!=2−n×(2n)!!(n!)2=2−2n×[(2n)!!]2(2n)!=(2n)!!×(2n−1)!!
则上式可化简为
lim n → ∞ a n 2 a 2 n = lim n → ∞ 2 − 2 n × [ ( 2 n ) ! ! ] 2 ( 2 n ) ! ! × ( 2 n − 1 ) ! ! × 2 2 n + 1 2 n = lim n → ∞ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! × 2 n \lim_{n\to \infin}\frac{a_n^2}{a_{2n}}= \lim_{n \to \infin} \frac{2^{-2n}\times[(2n)!!]^2}{(2n)!! \times(2n-1)!!} \times\frac{2^{2n+\frac{1}{2}}}{\sqrt{n}}= \\ \lim_{n\to \infin} \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\times \sqrt{\frac{2}{n}} n→∞lima2nan2=n→∞lim(2n)!!×(2n−1)!!2−2n×[(2n)!!]2×n22n+21=n→∞lim(2n−1)!!(2n)!!×n2
代入 w a l l i s wallis wallis公式得到
lim n → ∞ a n = lim n → ∞ a n 2 a 2 n = lim n → ∞ ( 2 n + 1 ) π 2 × 2 n = lim n → ∞ 2 n + 1 n × π = 2 π \lim_{n \to \infin} a_n= \lim_{n\to \infin}\frac{a_n^2}{a_{2n}}= \lim_{n \to \infin} \sqrt{\frac{(2n+1) \pi}{2}} \times\sqrt{\frac{2}{n}}=\\ \lim_{n\to \infin}\sqrt{\frac{2n+1}{n}} \times \sqrt{\pi}= \sqrt{2\pi} n→∞liman=n→∞lima2nan2=n→∞lim2(2n+1)π×n2=n→∞limn2n+1×π=2π
代入 a n a_n an化简可得到
lim n → ∞ n ! n n + 1 2 e − n 2 π = 1 n ! ∼ 2 π n n n e − n ( n → ∞ ) \lim_{n \to \infin} \frac{n!}{n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}\sqrt{2\pi}}=1\\ n! \sim \sqrt{2\pi n}\ n^ne^{-n} \quad (n \to \infin) n→∞limnn+21e−n2πn!=1n!∼2πn nne−n(n→∞)
2. 证明二
该证明来自论文。
斯特灵公式可变形写为
lim n → ∞ n ! × e n n n + 1 2 × 1 2 π = 1 \lim_{n \to \infin} \frac{n! \times e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}} \times \frac{1}{\sqrt{2\pi}}=1 n→∞limnn+21n!×en×2π1=1
令 a n = n ! × e n n n + 1 2 a_n=\frac{n! \times e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}} an=nn+21n!×en
则
a n = a 1 × a 2 a 1 × ⋯ × a n a n − 1 ln a n = ln a 1 + ln a 2 a 1 + ⋯ + ln a n a n − 1 a_n=a_1 \times \frac{a_2}{a_1} \times \cdots \times\frac{a_n}{a_{n-1}}\\ \ln a_n= \ln a_1+\ln \frac{a_2}{a_1} + \cdots +\ln \frac{a_n}{a_{n-1}} an=a1×a1a2×⋯×an−1anlnan=lna1+lna1a2+⋯+lnan−1an
又
ln a n a n − 1 = ln e ( 1 + 1 n − 1 ) n − 1 2 = 1 − ( n − 1 2 ) ln ( 1 + 1 n − 1 ) \ln \frac{a_n}{a_{n-1}}= \ln \frac{e}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-\frac{1}{2}}}= 1-(n-\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{n-1}) lnan−1an=ln(1+n−11)n−21e=1−(n−21)ln(1+n−11)
将 ln ( 1 + 1 n − 1 ) \ln (1+ \frac{1}{n-1}) ln(1+n−11)进行泰勒展开
ln a n a n − 1 = 1 − ( n − 1 + 1 2 ) ( 1 n − 1 − 1 2 ( n − 1 ) 2 + 1 3 ( n − 1 ) 3 + o ( 1 ( n − 1 ) 3 ) ) = − 1 12 1 ( n − 1 ) 2 + o ( 1 ( n − 1 ) 2 ) \ln \frac{a_n}{a_{n-1}} = 1-(n-1+\frac{1}{2})\\(\frac{1}{n-1} -\frac{1}{2(n-1)^2}+ \frac{1}{3(n-1)^3}+o(\frac{1}{(n-1)^3}))=\\ -\frac{1}{12}\frac{1}{(n-1)^2}+o(\frac{1}{(n-1)^2}) lnan−1an=1−(n−1+21)(n−11−2(n−1)21+3(n−1)31+o((n−1)31))=−121(n−1)21+o((n−1)21)
所以
lim n → ∞ ∣ ln a n a n − 1 ∣ 1 ( n − 1 ) 2 = 1 12 \lim_{n \to \infin} \frac{|\ln \frac{a_n}{a_{n-1}}|}{\frac{1}{(n-1)^2}}=\frac{1}{12} n→∞lim(n−1)21∣lnan−1an∣=121
级数 ∑ n = 2 ∞ ln a n a n − 1 \sum_{n=2}^{\infin} \ln \frac{a_n}{a_{n-1}} ∑n=2∞lnan−1an绝对收敛,
lim n → ∞ ln a n \lim_{n \to \infin} \ln a_n limn→∞lnan存在, lim n → ∞ a n = A \lim_{n\to \infin}a_n=A limn→∞an=A存在。
后续证明仍然是用 w a l l i s wallis wallis公式凑 s t i r i n g stiring stiring,与证明一相同,
参考证明一在此略去。
3. 积分放缩法证明: ln n ! > ( n + 1 2 ) ln n − n \ln n! \gt (n+\frac{1}{2}) \ln n -n lnn!>(n+21)lnn−n
接下来我们用积分放缩法证明这个不等式,原证明链接在知乎
首先对于传统矩形放缩,对于单调递增的函数 f f f在区间 [ a , b ] , ( b − a ) ∈ N + [a,b],(b-a) \in N+ [a,b],(b−a)∈N+
容易得到下面的结论
∫ a − 1 b f ( x ) d x < ∑ i = a b f ( i ) < ∫ a b + 1 f ( x ) d x \int_{a-1}^{b} f(x)dx \lt \sum_{i=a}^{b}f(i) \lt \int_{a}^{b+1}f(x)dx ∫a−1bf(x)dx<i=a∑bf(i)<∫ab+1f(x)dx
与传统的矩形放缩不同,我们这里进行的是梯形放缩。
还是将区间大小分为 1 1 1, 对于区间 [ p − 1 , p ] [p-1,p] [p−1,p]的单调递增凸函数 f f f;
作 x = p x=p x=p处 f f f的切线。切线与 x = p − 1 , x = p , x x=p-1,x=p,x x=p−1,x=p,x轴构成了梯形。
对于函数 f : ln x f: \ln x f:lnx点 ( P , ln P ) (P,\ln P) (P,lnP)处切线方程为
y − ln P = 1 P ( x − P ) y-\ln P=\frac{1}{P}(x-P) y−lnP=P1(x−P)
进而我们可以算出该区间的梯形面积为
s = ln P − 1 2 P s =\ln P - \frac{1}{2P} s=lnP−2P1
区间 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]的 n − 1 n-1 n−1个梯形面积为
∑ k = 2 n ln k − 1 2 k = ln n ! − 1 2 ∑ k = 2 n 1 k \sum_{k=2}^{n} \ln k - \frac{1}{2k}=\ln n!-\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} ∑k=2nlnk−2k1=lnn!−21∑k=2nk1
n − 1 n-1 n−1个梯形的面积和大于 ln x \ln x lnx在 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]下方与 x x x轴围城面积
ln n ! − 1 2 ∑ k = 2 n 1 k > ∫ 1 n ln x d x \ln n! - \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} \gt \int_{1}^{n} \ln x dx lnn!−21k=2∑nk1>∫1nlnxdx
化简得到
ln n ! > n ln n − n + 1 + 1 2 ∑ k = 2 n 1 k \ln n! \gt n\ln n - n + 1 + \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} lnn!>nlnn−n+1+21k=2∑nk1
根据重要极限 lim k → ∞ ( 1 + 1 k ) k = e \lim_{k \to \infin}(1+\frac{1}{k})^{k} =e limk→∞(1+k1)k=e得到
1 k ≥ ln ( 1 + 1 k ) \frac{1}{k} \ge \ln {(1+\frac{1}{k})} k1≥ln(1+k1)
则
ln n ! > n ln n − n + 1 + 1 2 ∑ k = 2 n ln ( 1 + 1 k ) \ln n! \gt n\ln n - n + 1 + \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\ln (1 + \frac{1}{k}) lnn!>nlnn−n+1+21k=2∑nln(1+k1)
再次化简得到
ln n ! > n ln n − n + 1 + 1 2 ∑ k = 2 n ln ( 1 + k k ) = n ln n − n + 1 2 ln ( n + 1 ) + 1 − 1 2 ln 2 \ln n! \gt n\ln n - n + 1 + \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\ln ( \frac{1+k}{k}) \\= n \ln n -n +\frac{1}{2} \ln (n+1)+1-\frac{1}{2} \ln 2 lnn!>nlnn−n+1+21k=2∑nln(k1+k)=nlnn−n+21ln(n+1)+1−21ln2
又有
1 2 ln ( n + 1 ) + 1 − 1 2 ln 2 > 1 2 ln ( n + 1 ) + 0 > 1 2 ln n \frac{1}{2} \ln (n+1)+1-\frac{1}{2} \ln 2 \gt \frac{1}{2} \ln (n+1)+0 \gt \frac{1}{2} \ln n 21ln(n+1)+1−21ln2>21ln(n+1)+0>21lnn
最终得到
ln n ! > n ln n − n + 1 2 ln n = ( n + 1 2 ) ln n − n \ln n! \gt n \ln n -n+\frac{1}{2} \ln n =(n +\frac{1}{2}) \ln n-n lnn!>nlnn−n+21lnn=(n+21)lnn−n
4. 符号
- 连乘: ∏ \prod ∏与求和 ∑ \sum ∑类似,不同的是求积
∏ i = 1 n i = n ! = 1 × 2 ⋯ × n \prod_{i=1}^ni=n!=1\times2\cdots\times n ∏i=1ni=n!=1×2⋯×n - 双阶乘: ! ! !! !!与阶乘类似 ! ! !只是隔一个数相乘
7 ! ! = 7 × 5 × 3 × 1 7!!=7\times5\times3\times1 7!!=7×5×3×1
6 ! ! = 6 × 4 × 2 6!!=6\times4\times2 6!!=6×4×2