泰勒公式中拉格朗日余项和佩亚诺余项的区别及具体的应用场景案例

泰勒公式是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近展开成多项式形式，以便于近似计算和分析。泰勒公式的一般形式为：

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_n(x)$$

其中，$R_n(x)$ 是余项，表示泰勒多项式与原函数之间的误差。余项有两种常见的形式：拉格朗日余项和佩亚诺余项。

拉格朗日余项

拉格朗日余项给出了泰勒展开式中误差的精确表达式。对于一个 $n$ 次泰勒展开式，拉格朗日余项的形式为：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$$

其中，$\xi$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的一个数。拉格朗日余项的关键在于它提供了一个具体的误差估计，这个误差是由 $f$ 的 $(n+1)$ 阶导数在某个中间点 $\xi$ 处的值决定的。

应用场景案例

假设我们想要近似计算 $\sin (0.1)$ 的值，并且希望知道近似值的误差范围。我们可以使用泰勒展开式：

$$\sin (x)\approx \sin (0)+\cos (0)x-\frac{\sin (0)}{2!}{x}^2-\frac{\cos (0)}{3!}{x}^3$$

即：

$$\sin (x)\approx x-\frac{x^3}{6}$$

对于 $x=0.1$，我们有：

$$\sin (0.1)\approx 0.1-\frac{(0.1{)}^3}{6}\approx 0.1-0.00016667\approx 0.09983333$$

使用拉格朗日余项，我们可以估计误差：

$$R_3(0.1)=\frac{\sin (\xi )}{4!}(0.1{)}^4$$

由于 $\sin (\xi )$ 的最大值为 1（在 $\xi$ 介于 0 和 0.1 之间时），我们有：

$$|R_3(0.1)|\le \frac{1}{24}(0.1{)}^4\approx 0.000004167$$

因此，近似值 $0.09983333$ 的误差不超过 $0.000004167$。

佩亚诺余项

佩亚诺余项则给出了泰勒展开式中误差的一个渐近表达式。对于一个 $n$ 次泰勒展开式，佩亚诺余项的形式为：

$$R_n(x)=o((x-a{)}^n)$$

这里的 $o((x-a{)}^n)$ 表示一个小量，当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$R_n(x)$ 比 $(x-a{)}^n$ 更快地趋近于零。佩亚诺余项的关键在于它描述了误差的一个渐近行为，而不是一个具体的数值。

应用场景案例

假设我们想要证明 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$。我们可以使用泰勒展开式：

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$

因此：

$$\frac{\sin (x)}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$$

当 $x\to 0$ 时，$o(x^2)$ 趋近于零，所以：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$$

在这个例子中，佩亚诺余项帮助我们理解了 $\frac{\sin (x)}{x}$ 在 $x$ 趋近于零时的渐近行为。

区别

1. 精确性：

   • 拉格朗日余项给出了误差的一个精确表达式，可以用来估计具体的误差大小。
   • 佩亚诺余项给出了误差的一个渐近行为，主要用于理论分析，不提供具体的误差数值。

2. 应用场景：

   • 拉格朗日余项适用于需要具体误差估计的情况，例如在数值计算中。
   • 佩亚诺余项适用于理论分析，特别是在证明某些极限或渐近性质时。

3. 数学形式：

   • 拉格朗日余项包含了一个未知的中间点 $\xi$，这使得它在实际应用中可能难以精确计算。
   • 佩亚诺余项的形式更简洁，易于处理，但它的信息量较少。