设已知函数 f ( x ) f(x) f(x)，需要将其表示为
g ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i g(x)=i=0∑∞aixi
先只考虑在 x = 0 x=0 x=0 处展开的情况，因为其他情况可将函数平移转化得到。
那么依次考虑 a i a_i ai 的求法。
我们规定 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x) 表示 f ( x ) f(x) f(x) 的 n n n 阶导函数（求 n n n 次导），则
g ( n ) ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( i + n ) ! × a i + n x i g^{(n)}(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(i+n)!\times a_{i+n}x^i g(n)(x)=i=0∑∞(i+n)!×ai+nxi
则 g ( n ) ( 0 ) = n ! × a n g^{(n)}(0)=n!\times a_n g(n)(0)=n!×an，又因为 f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x)，所以 f ( n ) ( 0 ) = g ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0)=g^{(n)}(0) f(n)(0)=g(n)(0)，即 n ! × a n = f ( n ) ( 0 ) n!\times a_n=f^{(n)}(0) n!×an=f(n)(0)，而等式右边又是已知的，则 a n = f ( n ) ( 0 ) n ! a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} an=n!f(n)(0)，我们就可以依次求出所有的 a i a_i ai。
再考虑在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处展开：
g ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f ( i ) ( x 0 ) i ! ( x − x 0 ) i g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i g(x)=i=0∑∞i!f(i)(x0)(x−x0)i
