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Canonical Difference-in-Differences
Diff-in-Diff with Outcome Growth
Canonical Difference-in-Differences
差分法的基本思想是，通过使用受治疗单位的基线，但应用对照单位的结果（增长）演变，来估算缺失的潜在结果 ：
其中，用样本平均数代替右侧期望值，就可以估计出 。之所以称其为 "差异-差分（DID）估计法"，是因为如果将前述表达式替换为 ATT 中的
，就会得到 "差异中的差异"：
不要被这些期望吓倒。以其典型形式，您可以很容易地得到 DID 估计值。首先，将数据的时间段分为干预前和干预后。然后，将单位分为治疗组和对照组。最后，您可以简单地计算所有四个单元的平均值：干预前与对照组、干预前与干预组、干预后与对照组、干预后与干预组：
did_data = (mkt_data
.groupby(["treated", "post"])
.agg({"downloads":"mean", "date": "min"}))
did_data
这些就是获得 DID 估计值所需的全部数据。对于干预基线 ，您可以使用 did_data.loc[1] 将其索引到干预中，然后使用 follow up .loc[0] 将其索引到干预前。要得到对照组结果的变化，即
，可以用 did_data.loc[0] 索引到对照组，用 .diff() 计算差值，然后用后续 .loc[1] 索引到最后一行。将对照组趋势与治疗基线相加，就得到了反事实
的估计值。要得到 ATT，可以用干预后期间受治疗者的平均结果减去 ATT：
y0_est = (did_data.loc[1].loc[0, "downloads"] # treated baseline
# control evolution
+ did_data.loc[0].diff().loc[1, "downloads"])
att = did_data.loc[1].loc[1, "downloads"] - y0_est
att
0.6917359536407233如果将这个数字与真实 ATT（过滤干预单位和干预后时期）进行比较，可以发现 DID 估计值与其试图估计的结果相当接近：
mkt_data.query("post==1").query("treated==1")["tau"].mean()
0.7660316402518457Diff-in-Diff with Outcome Growth
对 DID 的另一个非常有趣的理解是，它是在时间维度上对数据进行区分。让我们把单位 i 在不同时间的结果差异定义为 。现在，让我们把按时间和单位划分的原始数据转换成一个带有 Δyi 的数据框架，其中时间维度已被区分出来：
pre = mkt_data.query("post==0").groupby("city")["downloads"].mean()
post = mkt_data.query("post==1").groupby("city")["downloads"].mean()
delta_y = ((post - pre)
.rename("delta_y")
.to_frame()
# add the treatment dummy
.join(mkt_data.groupby("city")["treated"].max()))
delta_y.tail()
接下来，您可以使用潜在的结果符号来根据Δy来定义ATT
DID试图通过用控制单元的平均值替换Δy0来识别哪个控制单元：
如果你用样本平均值来代替这些期望，你会看到你得到了和之前相同的估计：
(delta_y.query("treated==1")["delta_y"].mean()
- delta_y.query("treated==0")["delta_y"].mean())
0.6917359536407155这是对 DID 的一个有趣的解释，因为它非常清楚地说明了它的假设，即 ，但我们稍后会进一步讨论这个问题。
由于这些都是非常专业的数学知识，我想通过绘制治疗组和对照组随时间变化的观察结果，以及治疗组的估计反事实结果，让大家对 DID 有更直观的理解。在下图中， 的 DID 估计结果以虚线表示。它是通过将对照组的轨迹应用到干预基线中得到的。因此，估计的 ATT 将是估计的反事实结果
与观察到的结果
之间的差值，两者均处于干预后时期（圆点与十字之间的差值）：
