数据结构之二叉树

之前我们了解了树的性质，并简单介绍了一下二叉树，那么接下来我们就来更多地来学习一下二叉树。

在学习二叉树之前我们先来学习一下二叉树的遍历，但是遍历需要先创建一个二叉树，那么为了方便理解和学习，我们先来暴力创建一个二叉树，介绍完二叉树的遍历之后，我们就可以使用二叉树的遍历来创建二叉树。

当然我们要先一个二叉树结构，如下图：

1.二叉树的遍历

我们先来暴力创建一颗二叉树，就以下图所示创建：

由于这里我们使用数字来创建，所以不要忘记先将char修改为int。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

其实简单点就是：

前序：根左子树右子树

中序：左子树根右子树

后序：左子树右子树根

（谁在前就先遍历谁）

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。

1.1前序遍历

遍历顺序为：根左子树右子树

下图为递归图解：

所以递归代码为：

这里我们将空也打印出来（N代表NULL）

再来运行测试一下：

1.2中序遍历

遍历顺序为：左子树根右子树

和前序相同的逻辑，只不过中序先遍历左子树

运行测试：

1.3后序遍历

遍历顺序：左子树右子树根

也是一样的逻辑，我们直接看代码，就不分析了

运行测试：

2.二叉树的构建

了解完二叉树的遍历之后，我们就用前序遍历构建一棵二叉树。（#表示NULL）

注意：数组是不会越界的，因为最后创建右子树时，当读取到的元素为#时，说明为空，再++就变成了\0，后面就不会继续递归了，而是不断返回，不递归的话下标就不会继续++造成越界。

然后我们用前序遍历测试一下看看：

3.二叉树的销毁

销毁要使用后序遍历来销毁，因为使用前序和中序会造成左子树和右子树的地址丢失，从而造成空间泄露，当然解决办法也是有的，你需要先把左右子树的地址先存起来，所以还是后序遍历更好点

注意：我们这里使用二级指针，是为了修改实参，另外递归左子树和右子树时，千万不要忘记left和right是一级指针，要使用&符号。

4.二叉树节点的个数

同样可以用递归的思想，转化为左子树+右子树+根（也就是1）

运行测试：

5.二叉树叶子节点个数

首先要知道叶子节点要怎么判断，左子树和右子树都为空时才是叶子节点。

运行测试：

确实是四个叶子节点，没有问题。

6.二叉树第k层节点个数

我们可以分解成一个子问题，我们每遍历一层，第k层相对我们就是k-1层，于是我们就可以分别遍历左子树和右子树的第k层，然后相加。

运行测试：

7.二叉树查找值为x的节点

我们在递归左子树和右子树时，一定要先把返回值先存在变量里，这样的好处是，如果我们再左子树中找到值为x的节点时，就直接返回，不需要再去递归右子树，还有如果不保存的话，在返回到上一层函数时，因为没有保存，所以又需要再重复递归，这样的话就需要重复多次递归。

运行测试：

8.层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

如图：

那么要如何实现层序遍历呢？其实我们可以用队列来实现，首先队列的特点是先进先出，利用这一特点，可以先把根节点入队列，然后出队列时，把它的左右子树分别也入到队列里面，用上图举例就是：A先入队列，A出队列时，把它的左右子树B和C也入到队列中，B出队列时，左子树D入队列，右子树为空，就不需要入，然后就是C出，EF入，以此类推。这样就能实现层序遍历。

首先，我们要将队列给实现，栈和队列的实现之前讲过，这里就不再赘述。

第一步，要先将Int修改为struct BinaryTreeNode*，因为我们入队列不能只将值给入到队列中，不然我们拿不到左右子树的值，那我们要将节点给入到队列中吗？其实没必要，我们可以将指向节点的指针入到队列中，通过指向节点的指针得到该节点的数据和左右子树的地址，这样每次入队列开辟的空间就会少很多。

只要不为空就入队列。如下图

注意：pop出队列，释放的空间是队列中存放指针（指向二叉树节点的指针）的空间，而不是释放二叉树节点，所以不会出现野指针的问题。

运行测试：

9.判断二叉树是否为完全二叉树

首先我们要知道什么是完全二叉树，之前有介绍过，就是一种特殊的满二叉树，如下图：

左边是完全二叉树，右边并不是，只有连续的才可以。

接下来要如何判断呢？我们也可以通过层序遍历来判断，这次我们将空树也入到队列中，只要出队列出到空时，队列中还有非空的，那么就不是完全二叉树，只有队列中全部为空才是完全二叉树。

举个例子，如图：

这次不管是否为空，都要入队列，出到空时就跳出循环，然后再判断队列中是否还有非空。

运行测试：

代码如下：

BinaryTree.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void PrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

BinaryTree.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "BinaryTree.h"

BTNode* BuyNode(int x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return NULL;
	}

	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	return node;
}

BTNode* Create()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);
	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;

	return node1;
}

// 二叉树前序遍历 
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);

}

// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return NULL;
	}
	root->data = a[(*pi)++];
	root->left = BinaryTreeCreate(a, pi);
	root->right = BinaryTreeCreate(a, pi);
	return root;
}

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	if (*root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
	BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
	free(*root);
	*root = NULL;
}

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	return BinaryTreeSize(root->left)
		+ BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
	return BinaryTreeLeafSize(root->left)
		+ BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (k == 1)
		return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1)
		+ BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;
	if (root->data == x)
		return root;
	BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;
	BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;
	return NULL;
}

#include "Queue.h"
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if(root)
		QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->data);
		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);
		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}
	QueueDestroy(&q);
}

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		//出到空时就跳出循环
		if (front == NULL)
		{
			break;
		}
		QueuePush(&q, front->left);
		QueuePush(&q, front->right);
	}
	//看队列中是否还有非空
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		//如果队列中还有非空，就说明不是完全二叉树
		if (front)
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

void Test2()
{
	char arr[] = { "ABD##E#H##CF##G##" };
	int i = 0;
	BTNode* root = BinaryTreeCreate(arr, &i);
	PrevOrder(root);
	printf("\n");
	printf("二叉树节点个数：%d\n", BinaryTreeSize(root));
	printf("叶子节点个数：%d\n", BinaryTreeLeafSize(root));
	printf("第k层节点个数：%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 3));
	BTNode* node = BinaryTreeFind(root, 'E');
	if (node != NULL)
		printf("找到了\n");
	printf("层序遍历：");
	BinaryTreeLevelOrder(root);
	if (BinaryTreeComplete(root))
		printf("完全二叉树\n");
	else
		printf("非完全二叉树\n");
}

void Test1()
{
	BTNode* root = Create();
	PrevOrder(root);
	printf("\n");
	InOrder(root);
	printf("\n");
	PostOrder(root);
	printf("\n");
}

int main()
{
	//Test1();
	Test2();
	return 0;
}