DeepSORT（目标跟踪算法） 卡尔曼滤波 状态空间模型的理解

DeepSORT（目标跟踪算法） 卡尔曼滤波 状态空间模型的理解

flyfish

卡尔曼滤波器是一种用于估计动态系统状态的递归算法，它基于状态空间模型进行工作。状态空间模型由两个主要方程组成：状态方程和观测方程。

状态方程描述系统的状态如何随时间演变，而观测方程描述如何通过测量值观察到系统的状态。

状态空间模型可以表示为：

1. 状态方程：
   ${\mathbf{x}}_k=\mathbf{F}{\mathbf{x}}_{k-1}+\mathbf{B}{\mathbf{u}}_k+{\mathbf{w}}_k$
2. 观测方程：
   ${\mathbf{z}}_k=\mathbf{H}{\mathbf{x}}_k+{\mathbf{v}}_k$
   其中：

• ${\mathbf{x}}_k$ 是时刻 $k$ 的状态向量。
• $\mathbf{F}$ 是状态转移矩阵，描述状态如何从 $k-1$ 时刻转移到 $k$ 时刻。
• $\mathbf{B}$ 是控制输入矩阵，描述控制向量 ${\mathbf{u}}_k$ 对状态的影响。
• ${\mathbf{w}}_k$ 是过程噪声，假定为零均值的高斯白噪声。
• ${\mathbf{z}}_k$ 是时刻 $k$ 的观测向量。
• $\mathbf{H}$ 是观测矩阵，描述状态向量如何映射到观测向量。
• ${\mathbf{v}}_k$ 是观测噪声，假定为零均值的高斯白噪声。
  为了说明卡尔曼滤波中的状态空间模型和矩阵乘法之间的关系，下面举两个具体的例子：

例子 1：一维位置和速度估计

假设我们有一个在直线上运动的物体，我们希望估计它的位置信息和速度信息。

状态空间模型

• 状态向量：${\mathbf{x}}_k=\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ v_k\end{array}\right]$，其中 $x_k$ 是位置，$v_k$ 是速度。
• 控制输入：假设没有控制输入，所以 ${\mathbf{u}}_k=0$。
• 状态转移矩阵：$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}1& \Delta t\\ 0& 1\end{array}\right]$，其中 $\Delta t$ 是时间间隔。
• 观测矩阵：假设我们只能测量位置，$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$。

矩阵乘法

1. 状态预测：
   ${\mathbf{x}}_{k|k-1}=\mathbf{F}{\mathbf{x}}_{k-1|k-1}=\left[\begin{array}{cc}1& \Delta t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}\\ v_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}+v_{k-1}\Delta t\\ v_{k-1}\end{array}\right]$
2. 观测预测：
   ${\mathbf{z}}_{k|k-1}=\mathbf{H}{\mathbf{x}}_{k|k-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}+v_{k-1}\Delta t\\ v_{k-1}\end{array}\right]=x_{k-1}+v_{k-1}\Delta t$

例子 2：二维位置和速度估计

假设我们有一个在平面上运动的物体，我们希望估计它的二维位置和速度。

状态空间模型

• 状态向量：${\mathbf{x}}_k=\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\\ v_{x,k}\\ v_{y,k}\end{array}\right]$，其中 $x_k$ 和 $y_k$ 是位置，$v_{x,k}$ 和 $v_{y,k}$ 是速度。
• 控制输入：假设没有控制输入，所以 ${\mathbf{u}}_k=0$。
• 状态转移矩阵：$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \Delta t& 0\\ 0& 1& 0& \Delta t\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$。
• 观测矩阵：假设我们能测量位置，$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$。

矩阵乘法

1. 状态预测：
   ${\mathbf{x}}_{k|k-1}=\mathbf{F}{\mathbf{x}}_{k-1|k-1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \Delta t& 0\\ 0& 1& 0& \Delta t\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}\\ y_{k-1}\\ v_{x,k-1}\\ v_{y,k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}+v_{x,k-1}\Delta t\\ y_{k-1}+v_{y,k-1}\Delta t\\ v_{x,k-1}\\ v_{y,k-1}\end{array}\right]$
2. 观测预测：
   ${\mathbf{z}}_{k|k-1}=\mathbf{H}{\mathbf{x}}_{k|k-1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}+v_{x,k-1}\Delta t\\ y_{k-1}+v_{y,k-1}\Delta t\\ v_{x,k-1}\\ v_{y,k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}+v_{x,k-1}\Delta t\\ y_{k-1}+v_{y,k-1}\Delta t\end{array}\right]$

物理运动方程转化为状态转移矩阵的形式

物理运动模型

假设我们有一个物体在二维平面上运动。我们希望用状态向量描述其位置和速度。假设物体的运动是匀速直线运动，以下是它的物理运动方程：

1. 位置更新：

• 在时间 $\Delta t$ 内，位置更新为：
  $x_k=x_{k-1}+v_{x,k-1}\Delta t$
  $y_k=y_{k-1}+v_{y,k-1}\Delta t$

2. 速度更新：

• 由于匀速直线运动，速度保持不变：
  $v_{x,k}=v_{x,k-1}$
  $v_{y,k}=v_{y,k-1}$

结合运动模型构造状态转移矩阵

状态定义

• 定义状态向量：
  ${\mathbf{x}}_k=\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\\ v_{x,k}\\ v_{y,k}\end{array}\right]$
  其中 $x_k$ 和 $y_k$ 是位置，$v_{x,k}$ 和 $v_{y,k}$ 是速度。

状态方程

• 将物理运动模型的方程转化为状态方程：
  ${\mathbf{x}}_k=\mathbf{F}{\mathbf{x}}_{k-1}+{\mathbf{w}}_k$
  其中 $\mathbf{F}$ 是状态转移矩阵，${\mathbf{w}}_k$ 是过程噪声。

构造状态转移矩阵

• 根据上述物理运动模型，位置和速度的更新关系可以写成矩阵形式：
  $\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\\ v_{x,k}\\ v_{y,k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \Delta t& 0\\ 0& 1& 0& \Delta t\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}\\ y_{k-1}\\ v_{x,k-1}\\ v_{y,k-1}\end{array}\right]$
  这就构成了状态转移矩阵：
  $\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \Delta t& 0\\ 0& 1& 0& \Delta t\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

解释状态转移矩阵

这个状态转移矩阵表示以下更新规则：

• 位置更新：$x_k=x_{k-1}+v_{x,k-1}\Delta t$$y_k=y_{k-1}+v_{y,k-1}\Delta t$
• 速度更新：$v_{x,k}=v_{x,k-1}$$v_{y,k}=v_{y,k-1}$
  通过这种方式，状态转移矩阵 $\mathbf{F}$ 将物理模型中位置和速度的更新关系转化为矩阵运算。这使得卡尔曼滤波器能够系统地处理状态预测和更新。

构造状态转移矩阵的过程

这种转换就是将多个线性方程组合成一个矩阵方程。具体步骤如下：

1. 定义状态向量

首先，我们需要定义系统的状态向量。状态向量包含了系统在每个时间步的所有状态变量。在二维位置和速度估计的例子中，状态向量定义为：
${\mathbf{x}}_k=\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\\ v_{x,k}\\ v_{y,k}\end{array}\right]$

2. 写出状态更新的方程组

根据物理模型，写出系统状态变量如何从时间 $k-1$ 变化到时间 $k$ 的更新方程。对于匀速直线运动模型，我们有：
$x_k=x_{k-1}+v_{x,k-1}\Delta t$
$y_k=y_{k-1}+v_{y,k-1}\Delta t$
$v_{x,k}=v_{x,k-1}$
$v_{y,k}=v_{y,k-1}$

3. 将方程组转换为矩阵形式

为了将这些方程组表示为矩阵形式，我们可以使用线性代数中的矩阵乘法，将多个方程合并到一个矩阵方程中。我们希望找到一个矩阵 $\mathbf{F}$，使得下面的矩阵方程表示我们系统的状态更新：
${\mathbf{x}}_k=\mathbf{F}{\mathbf{x}}_{k-1}$

具体过程如下：

首先，写出状态更新方程的分量形式：

1. 对于位置 $x_k$ 和速度 $v_{x,k}$：
   $x_k=1\cdot x_{k-1}+\Delta t\cdot v_{x,k-1}+0\cdot y_{k-1}+0\cdot v_{y,k-1}$
   $v_{x,k}=0\cdot x_{k-1}+1\cdot v_{x,k-1}+0\cdot y_{k-1}+0\cdot v_{y,k-1}$
2. 对于位置 $y_k$ 和速度 $v_{y,k}$：
   $y_k=0\cdot x_{k-1}+0\cdot v_{x,k-1}+1\cdot y_{k-1}+\Delta t\cdot v_{y,k-1}$
   $v_{y,k}=0\cdot x_{k-1}+0\cdot v_{x,k-1}+0\cdot y_{k-1}+1\cdot v_{y,k-1}$
   接下来，我们可以将这些方程组合成矩阵形式：
   $\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\\ v_{x,k}\\ v_{y,k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \Delta t& 0\\ 0& 1& 0& \Delta t\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{k-1}\\ y_{k-1}\\ v_{x,k-1}\\ v_{y,k-1}\end{array}\right]$

4. 构造状态转移矩阵 $\mathbf{F}$

通过上面的矩阵形式，我们得到了状态转移矩阵 $\mathbf{F}$：
$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \Delta t& 0\\ 0& 1& 0& \Delta t\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$