变分法笔记1

函数的Gâteaux变分

1. 设$X$是一个带有范数$\Vert \cdot \Vert$的线性空间。我们称一个在$X$上的实值泛函$J$，是一个映射$X$到$\mathbb{R}$的函数。我们写作

$$J:X\to \mathbb{R}$$

定义域$D$是$J$有定义的，$X$中的点的集合。

2. 例子：设$J:C[0,1]\to \mathbb{R}$为

$$J(x)={\int }_0^{1}x(t)e^{-t}dt$$

3. 例子：设$J:C^1[a,b]\to \mathbb{R}$为

$$J(x)={\int }_a^b\dot{x}(t{)}^{2}dt$$

4. 例子：在定义域

D = { y ∈ C 1 [ 0 , 1 ] ∣ y ( 0 ) = 0 , y ( 1 ) = 1 } D = \{ y \in C^1[0, 1] \mid y(0) = 0, y(1) = 1 \} D={y∈C1[0,1]∣y(0)=0,y(1)=1}

上定义泛函$J$为

$$J(y)={\int }_0^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$

$J(y)$是从 (0, 0) 到 (1, 1) 的光滑曲线$y=y(x)$的长度。

5. 在变分法中，大部分泛函的形式为

$$J(y)={\int }_a^{b}L(x,y(x),y^{\prime }(x))dx$$

其中$L$被称为拉格朗日函数。

6. 设$J:D\subset X\to \mathbb{R}$为泛函。点$x^{\ast }\in D$是$J$的局部极小值点，如果存在$r>0$，使得对所有$x\in D\cap B(x^{\ast },r)$有$J(x^{\ast })\le J(x)$。

7. 重要！！！
   设$f$是一个光滑函数，将${\mathbb{R}}^n$映射到$\mathbb{R}$。在方向$h$上的导数为

$$D_{h}f(x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{f(x+ϵh)-f(x)}{ϵ}={\frac{d}{dϵ}f(x+ϵh)|}_{ϵ=0}$$

对于泛函$J$，在点$x\in D$方向$h$上的 Gâteaux 变分（或一阶变分）定义为

$$\delta J(x,h)={\frac{d}{dϵ}J(x+ϵh)|}_{ϵ=0}$$

8. 计算 Gâteaux 变分时，需要选择那些使得$x+ϵh$在$D$中的$h$。这样的向量称为可行变分。对于泛函$J$，我们用$A$表示其可行变分的类。

9. 在一个光滑函数$f$的临界点$x$处，各个方向的导数为零：

$$D_{h}f(x)=0,\forall h\in {\mathbb{R}}^n$$

对于泛函$J$，在极值点$x\in D$处，

$$\delta J(x,h)=0,\forall h\in A$$

泛函$J$在极值点$x$处是平稳的(stationary)。

10. 在微积分中，你会在函数的临界点中寻找局部极小值。在变分法中，你会在泛函的极值点中寻找局部极小值。通过求解$\delta J(x,h)=0$来找到这些极值点。

11. 变分法与微积分中的概念、术语和符号对应关系总结如下：

• 一个泛函$J:D\subset X\to \mathbb{R}$⇔ 一个函数$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$
• 一个可行变分$h\in A$⇔ 一个方向向量$h\in {\mathbb{R}}^n$
• Gâteaux 变分$\delta J(x,h)$⇔ 方向导数$D_{h}f(x)$
• 一个泛函$J$的极值点$x\in D$⇔ 一个函数$f$的临界点$x\in {\mathbb{R}}^n$