变分法笔记3：多变量函数

设$B$是${\mathbb{R}}^n$中的一个区域，$x=(x_1,\dots ,x_n)$。对于函数$u:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$，我们定义泛函
$$J(u)={\int }_{B}L(x,u(x),\nabla u(x))dx$$
。拉格朗日量$L$是一个具有$2n+1$个参数的函数。

a. 泛函$J$的定义域$D$是一组光滑函数$u$，即$D$中的每个成员都具有我们需要的任意阶连续偏导数。

b. 与单变量情况一样，我们通常会对$u$施加边界条件：
$$u(x){|}_{x\in \partial B}=f(x),(1)$$
对于某些预设的函数$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$。

c. 可接受变分的类$A$由在$B$的边界上消失的光滑函数$h:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$组成：
$$h(x){|}_{x\in \partial B}=0.(2)$$

对于$k=1,\dots ,n$，设
$$u_{x_k}=\frac{\partial u}{\partial x_k}$$
。定义一个向量场为
$$F=\left(\frac{\partial L}{\partial u_{x_1}},\dots ,\frac{\partial L}{\partial u_{x_n}}\right)$$
。那么，泛函$J$在$u$处沿方向$h$的Gâteaux变分是
$$\delta J(u,h)={\frac{d}{dϵ}J(u+ϵh)|}_{ϵ=0}={\int }_B\left(\frac{\partial L}{\partial u}h+\sum _{k=1}^n\frac{\partial L}{\partial u_{x_k}}{h}_{x_k}\right)dx={\int }_B\left(\frac{\partial L}{\partial u}-\text{div}F\right)hdx+{\int }_{\partial B}hF\cdot \nu dS$$
$$={\int }_B\left(\frac{\partial L}{\partial u}-\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_k\partial u_{x_k}}\right)hdx.(3)$$

泛函$J$的一个极值函数是$u\in D$，使得
$$\delta J(u,h)=0,(4)$$
对于所有可接受的变分$h$。由(3)知，如果$u$满足欧拉方程
$$\frac{\partial L}{\partial u}-\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_k\partial u_{x_k}}=0,(5)$$
则$u$是一个极值函数。像往常一样，我们在$J$的极值函数中寻找$J$的最小值。

例子：设$\Gamma$是${\mathbb{R}}^3$中的一条光滑闭合曲线，其投影$C$位于$x_1{x}_2$-平面上。设$B$是由$C$包围的区域，使得$C=\partial B$。选择一个函数$f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$，其图像通过$\Gamma$。假设你需要找到覆盖在$\Gamma$上的平滑曲面的面积。如果曲面是函数$x_3=u(x_1,x_2)$的图像，则

a. $u$应该是光滑的，

b. $u$应该满足边界条件
$$u{|}_{\partial B}=f.(6)$$

覆盖在$B$上的$u$图像部分的曲面面积是
$$J(u)={\int }_B\left(1+(u_{x_1}{)}^2+(u_{x_2}{)}^2\right)d{x}_{1}d{x}_2={\int }_B\left(1+|\nabla u{|}^2\right)d{x}_{1}d{x}_2$$
拉格朗日量$L$为$J$是
$$L=L(\nabla u)=\sqrt{1+|\nabla u{|}^2}.(7)$$

寻找由$\Gamma$界定的最小面积曲面是Plateau问题。解决方案以$J$的最小值$u^{\ast }\in D$的形式出现。由于$u^{\ast }$将在极值函数中找到，我们解决欧拉方程(5)，满足边界条件(6)。有了拉格朗日量(7)，欧拉方程是
$$\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{u_{x_1}}{1+|\nabla u{|}^2}\right)+\frac{\partial }{\partial x_2}\left(\frac{u_{x_2}}{1+|\nabla u{|}^2}\right)=0,(8)$$
这简化为
$$(1+(u_{x_2}{)}^2)u_{x_1{x}_1}-2u_{x_1}{u}_{x_2}{u}_{x_1{x}_2}+(1+(u_{x_1}{)}^2)u_{x_2{x}_2}=0.(9)$$
这个二阶非线性椭圆型偏微分方程称为最小曲面方程。满足边界条件(6)的解$u$是$J$的极值函数。

例子：$u:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$的拉普拉斯算子是
$$\Delta u=\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_k^2}$$
对于${\mathbb{R}}^n$中的区域$B$，设
$$J(u)=\frac{1}{2}{\int }_B|\nabla u{|}^{2}dx$$
$J$的欧拉方程是
$$\Delta u=0$$
这是拉普拉斯方程。
对于给定的函数$\rho (x)$，设
$$J(u)={\int }_B\rho (x)u+\frac{1}{2}|\nabla u{|}^{2}dx$$
欧拉方程是
$$\Delta u=\rho (x)$$
这是泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程都是应用数学中的基本偏微分方程。