【多重背包动态规划】2585. 获得分数的方法数

2024-06-12 10:20:04
开发
12

本文涉及知识点

动态规划汇总
 背包问题汇总
 C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频

LeetCode2585. 获得分数的方法数

考试中有 n 种类型的题目。给你一个整数 target 和一个下标从 0 开始的二维整数数组 types ，其中 types[i] = [counti, marksi] 表示第 i 种类型的题目有 counti 道，每道题目对应 marksi 分。
返回你在考试中恰好得到 target 分的方法数。由于答案可能很大，结果需要对 109 +7 取余。
注意，同类型题目无法区分。
比如说，如果有 3 道同类型题目，那么解答第 1 和第 2 道题目与解答第 1 和第 3 道题目或者第 2 和第 3 道题目是相同的。
示例 1：
输入：target = 6, types = [[6,1],[3,2],[2,3]]
输出：7
解释：要获得 6 分，你可以选择以下七种方法之一：

解决 6 道第 0 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6
解决 4 道第 0 种类型的题目和 1 道第 1 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6
解决 2 道第 0 种类型的题目和 2 道第 1 种类型的题目：1 + 1 + 2 + 2 = 6
解决 3 道第 0 种类型的题目和 1 道第 2 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 3 = 6
解决 1 道第 0 种类型的题目、1 道第 1 种类型的题目和 1 道第 2 种类型的题目：1 + 2 + 3 = 6
解决 3 道第 1 种类型的题目：2 + 2 + 2 = 6
解决 2 道第 2 种类型的题目：3 + 3 = 6
示例 2：
输入：target = 5, types = [[50,1],[50,2],[50,5]]
输出：4
解释：要获得 5 分，你可以选择以下四种方法之一：
解决 5 道第 0 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
解决 3 道第 0 种类型的题目和 1 道第 1 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 2 = 5
解决 1 道第 0 种类型的题目和 2 道第 1 种类型的题目：1 + 2 + 2 = 5
解决 1 道第 2 种类型的题目：5
示例 3：
输入：target = 18, types = [[6,1],[3,2],[2,3]]
输出：1
解释：只有回答所有题目才能获得 18 分。

提示：
1 <= target <= 1000
n == types.length
1 <= n <= 50
types[i].length == 2
1 <= counti, marksi <= 50

多重背包（前缀和优化)

动态规划的状态表示

dp’[i][j] 回答了前i道题，得分为j的方案数。
用滚动向量优化后，空间复杂度：O(target)。
pre[j] = dp’[i][j] dp[j] = dp’[i+1][j]

动态规划的转移方程

dp[j]= $\sum_{k:0}^{(marksi *k <=j )\And(k<=counti) }pre[j-marksi *k]$
用前缀和优化后，任意状态转移的时间复杂度是:O(1)
时间复杂度：O(n target)

前缀和

j1 = j% marks ，j1相同的可以利用前缀和。
dp[j1] = pre[j1]
dp[j1+mask ]= pre[j1] + pre[j1+masks]
dp[j1+j2 $\times$ mask] = pre[j1+0 $\times$ mask] $\cdots$ pre[j1+j2 $\times$ mask] 最多counti+1 个元素，即：
即 j3 = j2 - counti- 1 ,j3 >= 0 则删除pre[j1+j3*mask]

动态规划的初始值

pre[0]=1 ，其它为0。

动态规划的填表顺序

for i :0 to n-1 for j = 0 to targe

动态规划的返回值

pre.back()

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int waysToReachTarget(int target, vector<vector<int>>& types) {
		vector<C1097Int<>> pre(target + 1);
		pre[0] = 1;
		for (const auto& v : types) {
			vector<C1097Int<>> dp(target + 1);
			for (int j1 = 0; j1 < v[1]; j1++)
			{//j1是pre
				C1097Int<> preSum = 0;
				for (int j = 0; v[1] * j + j1 <= target; j++) {
					preSum += pre[v[1] * j + j1];
					if (j > v[0]) {
						preSum -= pre[v[1] * (j-v[0]-1) + j1];
					}
					dp[v[1] * j + j1] = preSum;
				}
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return pre.back().ToInt();
	}
};

单元测试

template<class T1,class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1 , t2);
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());	
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{
	int target;
	vector<vector<int>> types;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod0)
		{
			target = 6, types = { {6,1},{3,2},{2,3} };
			auto res = Solution().waysToReachTarget(target, types);
			AssertEx( 7, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			target = 5, types = {{50,1},{50,2},{50,5}};
			auto res = Solution().waysToReachTarget(target, types);
			AssertEx( 4, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			target = 18, types = { {6,1},{3,2},{2,3} };
			auto res = Solution().waysToReachTarget(target, types);
			AssertEx( 1 , res);
		}
	};
}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
《喜缺全书算法册》以原理、正确性证明、总结为主。
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

![](https://img-blog.csdnimg.cn/f95ddae62a4e43a68295601c723f92fb.gif#pic_center

原文地址:https://blog.csdn.net/he_zhidan/article/details/139234517 本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：https://www.suanlizi.com/kf/1800714655216308224.html 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系《酸梨子》网邮箱：1419361763@qq.com进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

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