【数学建模】建筑工地开工问题

题目：
某公司有$6$个建筑工地要开工，每个工地的位置(用平面坐标$(a,b)$表示，距离单位:$km$)及水泥日用量$d(单位:t)$由下表给出，目前有两个临时料场位于$P(5,1)，Q(2,7)$，日储量各有$20t$。

1)假设从料场到工地之间均有直线道路相连，试制定每天的供应计划，即从每个料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。

首先我们要知道吨公里数是什么:
设运送水泥为$x$吨，运送了$y$公里，那么吨公里数就是$xy$

所以我们可以设每次运输水泥为$x_i$吨，运送了$y_i$公里，那么总的吨公里数最小模型就是
$\min {\sum }_{i\in N}(x_i{y}_i)$

建立供应条件模型：
设料场$i$到工地$j$的运输量为$X_{ij}$
则所有料场向某工地运输量之和大于等于该工地水泥日用量$d_i$：
${\sum }_{j\in N}{X}_{ij}>=d_i,i\in N$
且某料场对所有工地运算量之和不得超过料场的日储量$e_j$:
${\sum }_{i\in N}{X}_{ij}\le e_j,j\in N$

最后建立料场和工地距离模型:
设料场$P(x,y)$到工地$A(a,b)$的运输量为$di{s}_{PA}$
则:$di{s}_{PA}=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$

已知有6个工地和2个料场
将料场和工地距离模型和供应条件模型带入吨公里数最小模型可得：
$ans=\min {\sum }_{i\in N}(X_{ij}di{s}_{ij}),j=1,2$
或者
$ans=\min {\sum }_{j=1,2}{\sum }_{i\in N,i<=6}(X_{ij}di{s}_{ij})$

建模后带入已知进行LINGO求解:

sets:
 aa/1..6/:a,b,d;
 bb/1..2/:e,x,y;
 cc(aa,bb):k;
endsets
data:
 a = 1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
 b = 1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
 d = 3,5,4,7,6,11;
 e = 20,20;
 x = 5,2;
 y = 1,7;
enddata
min = @sum(cc(i,j):k(i,j)*@sqrt((a(i)-x(j))^2 + (b(i)-y(j))^2));
@for(aa(i):@sum(bb(j):k(i,j))=d(i));
@for(bb(j):@sum(aa(i):k(i,j))<=e(j));

解出:

Objective value:                              136.2275
                       K( 1, 1)        3.000000            0.000000
                       K( 1, 2)        0.000000            3.852207
                       K( 2, 1)        5.000000            0.000000
                       K( 2, 2)        0.000000            7.252685
                       K( 3, 1)        0.000000            1.341700
                       K( 3, 2)        4.000000            0.000000
                       K( 4, 1)        7.000000            0.000000
                       K( 4, 2)        0.000000            1.992119
                       K( 5, 1)        0.000000            2.922492
                       K( 5, 2)        6.000000            0.000000
                       K( 6, 1)        1.000000            0.000000
                       K( 6, 2)        10.00000            0.000000

如果工地到工地之间也有道路连接

假设每个工地都是一个点，那么这个点送进的水泥数量$i{n}_i$和送出的水泥数量$ou{t}_i$需要满足 $i{n}_i-ou{t}_i>=d_i$ ， $d_i$为该点水泥日用量
如果把料场也算进去，那么就需要设料场的$d$为0即可，即料场可以不留任何水泥

将所有的道路编号$z=1,2,3,\mathrm{4...}$,设改道路

编程求解
思路1：
化成图 ， 遍历每个工厂，找到工厂到料场的最短距离(bfs)，用这个最短距离替换料场和工地距离再带入上面问题模型求解即可：
C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace  std;
double a[10] = {0, 1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25,5,2},b[10] = {0, 1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75,1,7};
double px = 5 , py = 1;
double qx = 2 , qy = 7;
double dis[10][10];
double min_dis[10]; // p
double min_dis2[10]; // q

void bfs(int begin){
    queue<int>q;
    q.push(begin);
    while(!q.empty()){
        int x = q.front();q.pop();
        for(int i=1;i<=8;i++){
            if(begin == 7){
                if(min_dis[i] > min_dis[x] + dis[x][i]){
                    min_dis[i] = min_dis[x] + dis[x][i];
                    q.push(i);
                }
            }
            else{
                if(min_dis2[i] > min_dis2[x] + dis[x][i]){
                    min_dis2[i] = min_dis2[x] + dis[x][i];
                    q.push(i);
                }
            }
        }
    }
}


int main() {
    //init dis
    for(int i=1;i<=8;i++){
        for(int j=i+1;j<=8;j++){
            dis[i][j] = dis[j][i] = sqrt((a[i]-a[j]) * (a[i]-a[j])+  (b[i]-b[j])*(b[i]-b[j])); // 初始化距离
        }
    }
    for(int i=1;i<=6;i++)min_dis[i] = min_dis2[i] = 0x3f3f3f3f; // max set
    min_dis[7] = min_dis2[8] = 0;
    bfs(7); // p
    bfs(8); // q
    for(int i=1;i<=6;i++){
        cout << min_dis[i] << ' ';
        
    }cout << '\n';
    for(int i=1;i<=6;i++){
        cout << min_dis2[i] << ' ';

    }cout << '\n';
    return 0;
}

求解得

3.75832 3.75832 5.85769 4.06971 5.85235 7.11512
5.79871 9.19918 2.70416 4.25 1.11803 5.3033

或者:

for(int i=1;i<=6;i++){
        cout << min_dis[i] << ',';
        cout << min_dis2[i] << ',';
    }

求解得

3.75832,5.79871,3.75832,9.19918,5.85769,2.70416,4.06971,4.25,5.85235,1.11803,7.11512,5.3033,

sets:
 aa/1..6/:d;
 bb/1..2/:e;
 cc(bb,aa):k,dis;
endsets
data:
 d = 3,5,4,7,6,11;
 e = 20,20;
 dis= 3.75832,3.75832,5.85769,4.06971,5.85235,7.11512,5.79871,9.19918,2.70416,4.25,1.11803,5.3033;
enddata
min = @sum(cc(i,j):k(i,j)*dis(i,j));
@for(aa(i):@sum(bb(j):k(j,i))=d(i));
@for(bb(j):@sum(aa(i):k(j,i))<=e(j));

  Objective value:                              136.2275
  Infeasibilities:                              0.000000

2)为了进一步减少吨公里数，打算舍弃目前的两个临时料场，改建两个新的临时料场日储量还是20t,给出新料场的位置。

直接用第一问的模型:
$ans=\min {\sum }_{j=1,2}{\sum }_{i\in N,i<=6}(X_{ij}di{s}_{ij})$
设新料场坐标为$P(x_1,y_2)$和$Q(x_2,y_2)$
则:
$ans=\min {\sum }_{j=1,2}{\sum }_{i\in N,i<=6}{X}_{ij}\sqrt{(x_j-a_i{)}^2+(y_j-b_i{)}^2}$

如果直接带入LINGO求解，实际上就是问题一的答案去掉$x,y$的复制

sets:
 aa/1..6/:a,b,d;
 bb/1..2/:e,x,y;
 cc(aa,bb):k;
endsets
data:
 a = 1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
 b = 1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
 d = 3,5,4,7,6,11;
 e = 20,20;
 !x = 5,2;
 !y = 1,7;
enddata
min = @sum(cc(i,j):k(i,j)*@sqrt((a(i)-x(j))^2 + (b(i)-y(j))^2));
@for(aa(i):@sum(bb(j):k(i,j))=d(i));
@for(bb(j):@sum(aa(i):k(i,j))<=e(j));

如果赋初值给$x,y$

sets:
 aa/1..6/:a,b,d;
 bb/1..2/:e,x,y;
 cc(aa,bb):k;
endsets
data:
 a = 1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
 b = 1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
 d = 3,5,4,7,6,11;
 e = 20,20;

enddata
init:
 x = 5,2;
 y = 1,7;
endinit
min = @sum(cc(i,j):k(i,j)*@sqrt((a(i)-x(j))^2 + (b(i)-y(j))^2));
@for(aa(i):@sum(bb(j):k(i,j))=d(i));
@for(bb(j):@sum(aa(i):k(i,j))<=e(j));

MATLAB求解看数学规划模型（2）-非线性规划