【数学建模】钻井问题

已知

1. 12口井的坐标位置如下:
   x=[0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98, 9.50];
   y=[2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80];
2. 设平面有n个点$P_i$(表旧井井位),其坐标为$(a_i,b_i),i=1,2,\dots ,n$。新置的井位是一个正方形网格$N$的所有结点。假设每个格子的边长都是$1$单位。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点$P_i$距某个网格结点$X_i$的距离不超过给定误差$ϵ$,则认为$P_i$处的旧井井位可以利用,不必在结点处打新井。
   

   需要研究的问题

   • 1)假定网格的横向和纵向是固定的,并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差的绝对值)及纵向距离(纵坐标之差的绝对值)的最大者,在平面上平移网格N,使可利用的旧井数尽可能大,试提供数值计算方法。
   • 给出12口井的坐标，$ϵ=0.05$ , 按照问题一的要求求解

1)假定网格的横向和纵向是固定的,并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差的绝对值)及纵向距离(纵坐标之差的绝对值)的最大者,在平面上平移网格N,使可利用的旧井数尽可能大,试提供数值计算方法。

本题主要是要建立旧井可利用判断模型

首先是按照题目建立两点距离符合误差$ϵ$范围内的判断模型
若一个已知点$P_i$$(a_i,b_i)$距某个网格结点$X_i(x_i,y_i)$的距离不超过给定误差$ϵ$
$\{\begin{array}{l}|a_i-x_i|\le ϵ\\ |b_i-y_i|\le ϵ\end{array}$
或者

$\max (|a_i-x_i|,|b_i-y_i|)\le ϵ$

其次是网格平移模型，因为要研究的是网格平行对井的位置变化
设网格向右平移$x$个单位，向上平移$y$个单位;一个已知点$P_i$$(a_i,b_i)$
;网格平移后新点位置$P_j(a_j,b_j)$
有$\{\begin{array}{l}{a}_j=a_i+x\\ b_j=b_i+y\end{array}$

综合上述模型和要可利用的旧井数尽可能大可得模型:

$\{\begin{array}{l}ans=\max {\sum }_{\begin{array}{c}i\in N\\ 1\le i\le n\end{array}}fi\\ \max (|a_i+x-x_i|,|b_i+y-y_i|)f_i\le ϵ\end{array}$

现在还剩下一个问题某个网格结点$X_i(x_i,y_i)$是哪个网格点
这里问题就可以变成一个已知点$P_j$$(a_j,b_j)$求距离其最近的网格点$X_j(x_j,y_j)$
将一个小格子划分为四个区域观察规律可得
$\{\begin{array}{l}{x}_j=\lfloor a_j+0.5\rfloor \\ y_j=\lfloor b_j+0.5\rfloor \end{array}$

将这个式子带入我们的模型中可得
$\{\begin{array}{l}ans=\max {\sum }_{\begin{array}{c}i\in N\\ 1\le i\le n\end{array}}fi\\ \max (|a_i+x-\lfloor a_i+x+0.5\rfloor |,|b_i+y-\lfloor b_i+y+0.5\rfloor |)f_i\le ϵ\end{array}$

给出12口井的坐标，$ϵ=0.05$ , 按照问题一的要求求解

按照问题一给的模型，进行调整
$\{\begin{array}{l}ans=\max {\sum }_{\begin{array}{c}i\in N\\ 1\le i\le n\end{array}}fi\\ \max (|x_i+x-\lfloor x_i+x+0.5\rfloor |,|y_i+y-\lfloor y_i+y+0.5\rfloor |)f_i\le 0.05\end{array}$

LINGO求解

sets:
	aa/1..12/:a,b,f;
endsets
data:
	a=0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50;
	b=2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata
max = @sum(aa(i):f(i));
@for(aa(i):@bin(f(i)));
@for(aa(i):@smax(@abs(a(i)+x1-@floor(a(i)+x1+0.5)),@abs(b(i)+y1-@floor(b(i)+y1+0.5)))*f(i)<=0.05);
x1<1;
y1<1;

or
$\{\begin{array}{l}ans=\max {\sum }_{\begin{array}{c}i\in N\\ 1\le i\le n\end{array}}fi\\ |x_i+x-\lfloor x_i+x+0.5\rfloor |f_i\le 0.05\\ |y_i+y-\lfloor y_i+y+0.5\rfloor |f_i\le 0.05\end{array}$

sets:
	aa/1..12/:a,b,f;
endsets
data:
	a=0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50;
	b=2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata
max = @sum(aa(i):f(i));
@for(aa(i):@bin(f(i)));
@for(aa(i):@abs(a(i)+x1-@floor(a(i)+x1+0.5))*f(i)<=0.05);
@for(aa(i):@abs(b(i)+y1-@floor(b(i)+y1+0.5))*f(i)<=0.05);
x1<1;
y1<1;

答案如下

  Objective value:                              4.000000
  Objective bound:                              4.000000

 						  F( 1)        0.000000           -1.000000
                          F( 2)        1.000000            0.000000
                          F( 3)        0.000000           -1.000000
                          F( 4)        1.000000           -1.000000
                          F( 5)        1.000000            0.000000
                          F( 6)        0.000000           -1.000000
                          F( 7)        0.000000           -1.000000
                          F( 8)        0.000000           -1.000000
                          F( 9)        0.000000           -1.000000
                         F( 10)        1.000000            0.000000
                         F( 11)        0.000000           -1.000000
                         F( 12)        0.000000           -1.000000