01背包问题dp

01背包

有 N
件物品和一个容量是 V
的背包。每件物品只能使用一次。
第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V
，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出
8

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int N,V;
int v[1010],w[1010];
for(int i =0;i<N;i++){
	cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i =1;i<N;i++){
 for(int j = 0;j<V;j++){
if(j<v[i])f[i][j]=f[i-1][j];
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]+w[i]);
}
}
cout<<f[N][V];
return 0;
}

分析

f[i][j] 的值表示前i件且用时为j的选择的最大价值。

if(j<f[i][j])
f[i][j]=f[i-1][j]

表示当当前容量拿不了第i件，所以当前可拿到的最大价值是和前i-1件相等的。

else
	f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])

表示当前容量可以那第i件时，最大价值在拿第i件或或不拿第i件 之中。

为什么呢？怎么强行理解呢？
因为从f[1][0]开始就是不断的取最大会使f[i][j]更大的值，f[i][j]之前的都全部考虑好了只要考虑f[i][j]怎么拿到最大，要么不拿第i件，要么拿第i件和拿前i-1件且容量为j-w[i]可拿的最大价值。
而 f[i-1][j-v[i]] 在之前已经算好了。