一、多元函数的极限
1.多元函数计算极限的四种常见类型及方法
a.直接带入型
limf(x,y) 当x,y可合理代入时,直接代,即得结果
b.无穷小×有界函数(e.g.三角函数)
lim0·sin(f(x,y)) 0代指在(x0,y0)处,无限接近0的多元函数
此时回忆起高数上学期的咒语“无穷小×有界=0”,直接写0
c.有理化型(带根号型)
lim f(x,根号y) 运用平方差公式,先把根号消掉,之后再用其他方法
d.等价无穷小型
limf(x,y) 运用等价无穷小(高数上学期第一章有讲),替换函数,之后约分代入...等其他方法
2.判断极限是否存在
limf(x,y)
在某点如(0,0)是否有极限,因为x,y取值五花八门,不能同时确定,正推存在极限需要证明无穷多个数值对,反推则比较简单,极限存在则必有两个不同数值对的极限相等
步骤:取x=y,x=-y 两个数值对,分别代入函数中,求得极限,不相等则不存在,但是相等不一定能证明存在(还是需要证明所有/任意x,y的取值都能取得同一个极限才可证明)
二、偏导数与全微分
1.一阶偏导数的计算
u=f(x,y) 求əu/əx(ə为偏导符号)
方法:求某个未知数的偏导数,就是把其他未知数全部看作常数
例:u=x²sin2y əu/əx=2xsin2y
2.高阶偏导数的计算
u=f(x,y) 求ə²u/əxəy
方法:求二阶(混合)偏导数,就是在一阶偏导数的基础上继续导
注意:一阶偏导为对x求导,则二阶需要改成对y求导,反之亦然,先对x还是先对y求导,二阶导结果都相同,这个过程比较复杂,感兴趣可以看看
二阶混合偏导相等的条件是什么?证明过程? - 不好wan的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/30326293/answer/2450645978
例:u=x²+sinx+5xy²+y³ əu/əx=2x+cosx+5y² ə²u/əxəy=10y
3.全微分的计算
u=f(x,y) du=əu/əx·dx+əu/əy·dy (公式,记住就好)
例:u=xy+x/y du=(y+1/y)·dx+(x-x/y²)·dy
三、复合函数与隐函数求偏导
1.一般复合函数求偏导
步骤:
01画链路图
02找到z到x的路径
03根据链路图写出路径
04根据算式写出结果
注意:
同一条路径上的偏导数相乘,不同路径的算式相加;
若u是只关于x的一元函数,求导用d而不是ə
2.抽象复合函数求偏导
比一般复合函数求偏导的步骤多一步,在计算前需要设出u,v(便于画链路图)
抽象函数求偏导的结果是抽象函数的形式f₁',f₂'
例:设z=f(x²-y²,e^xy) 求əz/əx
3.复合函数求二阶偏导
在一阶偏导的基础上继续导
4.隐函数求偏导
步骤:
01构造函数F(x,y,z)
02求出x,y,z的偏导
03代入公式计算
5.全微分的充要条件
四、方向导数与梯度
方向导数与梯度需要用到向量那一章节的内容,建议先去看看向量再来看本节
1.梯度
2.方向导数最大值
3.方向导数
以上为本人预习的简略版本,有一篇很不错的文章值得大家深入探究学习多元函数求极限方法总结 - 知乎 (zhihu.com)
以上为个人拙见,如有不妥之处,烦请各位指出,谢谢~v~