0901多元函数的基本概念-多元函数微分法及其应用

1 平面点集

1.1 坐标平面

坐标平面就是建立了坐标系的平面。符号表示：$R^2=R\times R=\{(x,y)|x,y\in R\}$

1.2 平面点集

平面点集就是坐标平面上，具有某种性质P的集合。记作，$E=\{(x,y)|(x,y)具有某种性质P\}$

示例：$c=\{(x,y)|x^2+y^2<r^2\}$或者 c = { P ∣ ∣ O P ∣ < r } c=\{P||OP|\lt r\} c={ P∣∣OP∣<r}

1.3 邻域

设$P_0$为xoy面上的一点，$\delta\gt0 $,与$P_0(x_0,y_0)$距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0(x_0,y_0)$的$\delta$的邻域。

记作， U ( P 0 , δ ) = { P ∣ ∣ P P 0 ∣ < δ } U(P_0,\delta)=\{P| |PP_0|\lt\delta\} U(P0​,δ)={ P∣∣PP0​∣<δ}或者$U(P_0,\delta )=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta \}$

注：

1. 去心邻域： U ( P 0 , δ ) = { P ∣ 0 < P P 0 < δ } U(P_0,\delta)=\{P| 0\lt PP_0\lt\delta\} U(P0​,δ)={ P∣0<PP0​<δ}
2. 做不强调$\delta$,可写为$U(P_0),U(P_0)$

1.4 电与点集的关系

任意一点$P\in R^2$，任意点集$E\in R^2$

• 内点

$\exists U(P),使U(P)\subset E$，则$P为E$的内点。

• 外点

$\exists U(P),使U(P)\cap E=\varnothing$，则$P为E$的外点点。

• 边界点

$\forall U(P)，若U(P)$既有属于E的点，又有不属于E的点，则P为E的边界点。

• 边界

E 的边界点的全体，称为E的边界，记作$E$

1.5 聚点

对于$\forall \delta >0,U(P,\delta )\cap E\ne \varnothing ,则P为E$的聚点。

**注：**聚点可能属于E，也可能不属于E。

示例：平面点集$E=\{(x,y)|1<x^2+y^2\le 2\}$
$$x^2+y^2=1是E的边界点，不属于E，也是E的聚点x^2+y^2=2是E的边界点，属于E，也是E的聚点$$

1.6 点集所属点的特征定义的平面点集

• 开集：如果点集E的点都是E的内点，那么称E为开集。
• 闭集：如果点集E的边界$\subset E$,那么称E为闭集。
• 连通集：如果点集E内的任何两点，都可以用折线联结起来，且该折线上的点都属于E,那么称E为连通集。
• 区域（开区域）：连通的开集称为区域或者开区域。
• 闭区域：开区域连同它的边界一起构成的点集称为闭区域。
• 有界集：对于平面点集E ,如果存在某一正数r,使得$E\subset U(O,r)$，其中O为坐标原点，那么称E为有界集。
• 无界集：一个集合如果不是有界集，就称这个集合为无界集。

2 多元函数的概念

2.1 定义

设$D\subset R^2且D\ne \varnothing$，则称映射$f:D\to R$为定义在D上的 二元函数。通常记为

$z=f(x,y),(x,y)\in D$ 或者 $z=f(P),P\in D$

其中点集D为该函数的定义域，x和y称为自变量，z称为因变量。

2.2 值域

f ( D ) = { z ∣ z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } f(D)=\{z|z=f(x,y),(x,y)\in D\} f(D)={ z∣z=f(x,y),(x,y)∈D}

2.3推广

把平面点集D换成n维空间$R^n$内的点集D，映射$f:D\to R$,称为定义在D上的n元函数。记为

$u=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n),(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D$ 或者

$u=f(x),x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D$ 或者

$f=f(P),P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D$

示例：

• 三元函数：$u=f(x,y,z)$

2.4 自然定义域

使算式有意义的点的集合称为自然定义域。

示例1：$z=ln(x+y),D=\{(x,y)|x+y>0\}$

2.5 二元函数的图形

$$z=f(x,y)\leftrightarrow M(x,y,z)(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in D$$

3 多元函数的极限

定义：设二元函数f§=f(x,y)的定义域为D，$P_0(x_0,y_0是D$的聚点。如果存在常数A，对于任意给定的正数$ϵ$,总存在正数$\delta$，使得当点$P(x,y)\in D\bigcap \stackrel{o}{U}(P_0,\delta )$时，都有

$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ϵ$

成立，那么称常数A位函数f(x,y)当$(x,y)\to (x_0,y_0)$时的极限，记作

$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A或f(P)\to A((x,y)\to (x_0,y_0))$

注：

1. $P_0是D$的聚点。
2. 证明极限，在于寻找$\delta =f(ϵ)$

例4.设$f(x,y)=(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},求证\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0$
$$
证明：\
f(x,y)的定义域为D={(x,y)|(x,y)\in R^2,且(x,y)\not=(0,0)}\
点(0,0)为D的聚点\
\because |f(x,y)-0|=|（x^2+y2)\sin\frac{1}{x^2+y2}|\le(x2+y^2)\

\forall \epsilon\gt0,取\delta=\sqrt{\epsilon} 有0\lt\sqrt{x^2+y2}\lt\delta
有|f(x,y)-0|\lt\epsilon \
\therefore \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}{f(x,y)}=0
$$

3. $P\to P_0$表示点P以任何方式趋向于点$P_0$
4. 若P以不同方式趋向于$P_0，f(P)$趋于不同的的值，则可以断定f§当$P\to P_0$时极限不存在。

例5 求$\underset{(x,y)\to (0,2)}{\lim }\frac{\sin (xy)}{x}$
$$\begin{gathered} 解： \\ \underset{(x,y)\to (0,2)}{\lim }\frac{\sin (xy)}{x}=\underset{(x,y)\to (0,2)}{\lim }\frac{\sin (xy)}{xy}\cdot y=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\sin z}{z}=1\cdot 2=2 \end{gathered}$$

4 多元函数的连续性

4.1 连续函数定义

定义：设二元函数f§=f(x,y)的定义域D，P_0(x_0,y_0)为D的聚点，且P_0\in D ，如果

$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$

那么称函数$f(x,y)在点(x_0,y_0)$连续。

设函数$f(x,y)在D上有定义，D内的每一点都是D的聚点，如果函数f(x,y)在D的每一点都连续$，那么就称函数$f(x,y)在D上连续$

例6设$f(x,y)=\sin x$,证明$f(x,y)是R^2$上的连续函数
$$\begin{gathered} 证明： \\ \forall P_0(x_0,y_0)\in R^2,\forall ϵ>0 \\ \because \sin x在x_0处连续 \\ \therefore \exists \delta >0，当|x-x_0|<\delta 时，有 \\ |\sin x-\sin x_0|<ϵ \\ 以上述\delta 做P_0的\delta 邻域U(P_0,\delta )，则当p(x,y)\in R^2时，显然 \\ |x-x_0|\le \rho (P,P_0)<\delta , \\ 从而|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=|\sin x-\sin x_0|<ϵ \\ 即f(x,y)=\sin x在点P_0(x_0,y_0)连续，P_0为R^2任意一点，所以f(x,y)在R^2上为连续函数。 \end{gathered}$$

4.2 间断点定义

设函数$f(x,y)定义域为D，P_0(x_0,y_0)为D的聚点$.如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$不连续，那么称$P(x_0,y_0)为函数f(x,y)$的间断点。

4.3 多元连续函数的和、差、积扔连续，连续函数的商在分母不为零处连续。多远连续复合函数也连续。

4.4 多元初等函数

多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到。

例7 求$\underset{(x,y)\to (1,2)}{\lim }\frac{x+y}{xy}$
$$\begin{gathered} 函数f(x,y)=\frac{x+y}{xy}定义域D=\{(x,y)|x\ne 0,y\ne 0\} \\ 函数在店P(1,2)连续， \\ \therefore \underset{(x,y)\to (1,2)}{\lim }\frac{x+y}{xy}=f(1,2)=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

5 有界闭区间上多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理） 在有界闭区间D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。

性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

性质3（一致连续性定理） 在有界闭区域D上多元连续函数必定在D上一致连续。

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p54-64.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p64.