抽象代数精解【1】

群

概述

下面由文心一言生成

数学中的“群”（group）是一个重要的代数结构概念，它起源于对方程解析解的探索，由伽罗瓦（E.Galois）为了解决特定数学问题而创造。群论（group
theory）则是研究这种代数结构的数学学科。以下是对群及其相关概念的详细解释：

一、群的定义

群是一个非空集合G，以及在该集合上定义的一个二元运算“*”（通常称为乘法，但也可以是其他任何运算，只要满足群的定义），使得以下四个条件成立：

1. 封闭性：对于G中的任意两个元素a和b，它们的乘积a*b仍然是G中的元素。
2. 结合律：对于G中的任意三个元素a、b和c，有(ab)c=a(bc)。
3. 单位元素（幺元）：G中存在一个元素e，使得对于G中的任意元素a，都有ea=ae=a。
4. 逆元素：对于G中的任意元素a，G中都存在另一个元素a^{(-1)，使得a*a}(-1)=a^(-1)*a=e。

如果群G中的运算还满足交换律，即对于G中的任意两个元素a和b，都有ab=ba，则称G为阿贝尔群（Abelian group）或交换群。

二、群的基本性质

群的基本性质主要包括封闭性、结合律、单位元素和逆元素，这些性质是群定义的核心。此外，群还具有以下一些重要性质：

• 群的阶：群中元素的个数称为群的阶。有限群是指阶数有限的群，无限群则是指阶数无限的群。
• 子群：如果群G的一个子集H对于G的乘法也构成一个群，则称H为G的子群。
• 共轭性：设a与b是群G的两个元素，若G中存在元素x，使得b=xax^(-1)，则称b与a共轭。

三、群的分类与例子

群可以根据不同的标准进行分类，如有限群与无限群、阿贝尔群与非阿贝尔群等。常见的群例子包括：

• 置换群：集合上所有双射的集合，并定义合成映射为群的运算。
• 循环群：群G的每一个元素都是G的某一个固定元素a的乘方，则称G为循环群。
• 一般线性群：所有n阶实可逆方阵的集合，乘法为矩阵乘法，则构成一个群。

四、群的应用

群论在数学及其他科学领域有着广泛的应用。例如：

• 密码学：群论的置换群理论被广泛应用于置换密码中，通过群的运算来进行加密和解密操作。
• 物理学：群论在量子力学、固体物理学等领域中起着重要作用，用于研究对称性和守恒定律。
• 计算机科学：群论为计算机科学提供了抽象数据类型和算法设计的基础，在数据结构和算法设计中有着重要应用。

综上所述，群是数学中一个重要的代数结构概念，具有广泛的应用前景。通过对群的研究，我们可以更好地理解数学及其他科学领域中的许多问题。

难点与例子

• $实数域R上全体n阶方阵的集M_n(R)关于矩阵的加法构成一个交换群$
• $全体n阶可逆方阵的集合G{L}_n(R)关于矩阵的乘法构成群。$
  $$\begin{gathered} 群G{L}_n(R)中的单位元是E_n \\ 可逆方阵A\in G{L}_n(R)的逆元是A的逆矩阵A^{-1} \\ n>1时,G{L}_n(R)是一个非交换群。 \end{gathered}$$
• n次方单位根组成的集合
  U n = { x ∈ C ∣ x n = 1 } = { c o s 2 k π n + i s i n 2 k π n ∣ k = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 } 关于数的乘法构成一个 n 阶交换群 , 叫 n 次单位根群 1 为单位元 x n − 1 为逆元 U_n=\{x \in C|x^n=1\} \\=\{cos \frac {2k\pi} {n}+isin \frac {2k\pi} {n}|k=0,1,2,...,n-1\} \\关于数的乘法构成一个n阶交换群,叫n次单位根群 \\1为单位元 \\x^{n-1}为逆元 Un​={x∈C∣xn=1}={cosn2kπ​+isinn2kπ​∣k=0,1,2,...,n−1}关于数的乘法构成一个n阶交换群,叫n次单位根群1为单位元xn−1为逆元
• 模m剩余类群$Z_m$
  1.关于加法构成群
  2.关于乘法不构成群(m>1时)
  3.但特殊元素关于乘法构成群。
  1. 设 m > 1 ，且为正整数。 2. U ( m ) = { a ˉ ∈ Z m ∣ ( a , m ) = 1 } 关于剩余类的乘法构成群。 单位元是 1 ˉ 逆元是 u ˉ , u ˉ ∈ U ( m ) ，即 U ( m ) 的每个元素在 U ( m ) 中都可逆。 ∀ a ˉ ∈ U ( m ) = > ( a , m ) = 1 a u + m v = 1 ( u , v ∈ Z ) ( u , m ) = 1 = > u ˉ ∈ U ( m ) , a ˉ u ˉ = u ˉ a ˉ = 1 ˉ 3. 群 ( U ( m ) , ⋅ ) 为 Z 的模 m 单位群 , 是交换群。 p 为素数时 , U ( p ) 记为 Z p ∗ Z p ∗ = { 1 ˉ , 2 ˉ , . . . , p − 1 ‾ } 4. U ( m ) 的阶为 ϕ ( m ) （欧拉函数） m = p 1 r 1 p 2 r 2 . . . p s r s ( p i 为 m 的不同素因子 ) ϕ ( m ) = ( p 1 r 1 − p 1 r 1 − 1 ) ( p 2 r 2 − p 2 r 2 − 1 ) . . . ( p n r n − p n r n − 1 ) = m ∏ i = 1 s （ 1 − 1 p i ) 1.设m>1，且为正整数。 \\2.U(m)=\{\bar a \in Z_m|(a,m)=1\}关于剩余类的乘法构成群。 \\单位元是\bar 1 \\逆元是\bar u,\bar u \in U(m)，即U(m)的每个元素在U(m)中都可逆。 \\\forall \bar a \in U(m)=>(a,m)=1 \\au+mv=1(u,v \in Z) \\(u,m)=1=>\bar u \in U(m),\bar a \bar u=\bar u \bar a=\bar 1 \\3.群(U(m),\cdot)为Z的模m单位群, 是交换群。 \\ p为素数时,U(p)记为Z^*_p \\Z^*_p=\{\bar 1,\bar 2,...,\overline {p-1}\} \\4.U(m)的阶为\phi(m)（欧拉函数） \\m=p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_s^{r_s}(p_i为m的不同素因子) \\\phi(m)=(p_1^{r_1}-p_1^{r_1-1})(p_2^{r_2}-p_2^{r_2-1})...(p_n^{r_n}-p_n^{r_n-1}) \\=m\prod_{i=1}^s（1-\frac 1 {p_i}) 1.设m>1，且为正整数。2.U(m)={aˉ∈Zm​∣(a,m)=1}关于剩余类的乘法构成群。单位元是1ˉ逆元是uˉ,uˉ∈U(m)，即U(m)的每个元素在U(m)中都可逆。∀aˉ∈U(m)=>(a,m)=1au+mv=1(u,v∈Z)(u,m)=1=>uˉ∈U(m),aˉuˉ=uˉaˉ=1ˉ3.群(U(m),⋅)为Z的模m单位群,是交换群。p为素数时,U(p)记为Zp∗​Zp∗​={1ˉ,2ˉ,...,p−1​}4.U(m)的阶为ϕ(m)（欧拉函数）m=p1r1​​p2r2​​...psrs​​(pi​为m的不同素因子)ϕ(m)=(p1r1​​−p1r1​−1​)(p2r2​​−p2r2​−1​)...(pnrn​​−pnrn​−1​)=mi=1∏s​（1−pi​1​)

参考文献

1.《近代代数（第三版）》