初等数论精解【1】

整数整除性

基础

• $1，2，...,n称为自然数，也叫正整数$
• $1，3，5，.....称为奇数$
• $2，4，6，.....称为偶数$
• $a,b是整数，b\ne 0，如果有一个整数c，使得a=bc，a叫做b的倍数，b叫做a的因数，b整除a，记为b|a$
• $a,b\in Z,|a|<|b|,|b|||a|=>a=0$
  $$\begin{gathered} 证：|a|=|b|c \\ |a|=0=>a=0 \\ |a|>0,0<|a|<|b|,|a|=|b|c=>c\ge 0=>如果c>0，则 \\ c\ge 1，|a|=|b|c，|a|<|b|将不成立 \\ 如果要成立，0<c<1,c\notin Z \end{gathered}$$
• $a,b\in Z，b\ne 0，则有且只有两个整数q,r，可使$
  $a=bq+r，0\le r<|b|$

相关理论

下面内容由文心一言自动生成

整除的论述

一、整除的定义

整除是数学中的一个重要概念，它指的是若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，则称a整除b，记作a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。在这个关系中，a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。整除属于除尽的一种特殊情况，即除得的商是整数而没有余数的情况。

二、整除的基本性质

整除具有以下几条基本性质：

1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a也能被c整除。
2. 加法性质：如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除。
3. 乘法性质：如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除。
4. 积的整除性：如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除。
5. 特殊整数的整除性：任意整数都能被1整除；0能被任意非0整数整除。

三、整除的判定方法

1. 直接判定法：直接计算b除以a的余数，若余数为0，则a整除b。
2. 特征判定法：根据整数的某些特征来判断其是否能被某个数整除。例如：
   • 个位上是0或5的数都能被5整除。
   • 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
   • 一个数的末两位数能被4整除，这个数就能被4整除。
   • 使用“截尾法”判断整除性，如截尾加2法、截尾减1法等。

四、整除的应用

整除在数学、计算机科学、物理学等多个领域都有广泛的应用。例如，在数论中，整除是研究整数性质的重要工具；在计算机科学中，整除运算是基础算法之一，常用于数据校验、算法优化等方面。

五、整除与除尽的区别

整除是除尽的一种特殊情况。具体来说，数a除以数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，称为整除；如果除得的商是整数或是有限小数，则称为除尽。因此，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。

综上所述，整除是数学中一个基础而重要的概念，它具有明确的定义、基本性质、判定方法和广泛的应用领域。通过掌握整除的相关知识，我们可以更好地理解和解决数学问题。

截尾法

在整除判断中，截尾法是一种通过截取一个数的部分位数（通常是末尾几位），并对剩余部分进行某种特定的操作或计算，以快速判断该数是否能被另一个数整除的方法。然而，需要注意的是，虽然这种方法有时被称为“截尾法”，但实际上它更多地依赖于一种数学规律或技巧，而不是简单地截去数字的一部分。

以7、11、13等数的整除性判断为例，虽然这些方法中涉及到了“截取末尾数字”的步骤，但真正起决定作用的是后续对剩余数字的特定操作。以下是这些情况下截尾法的具体描述：

1. 判断一个数是否能被7整除

虽然没有一个直接的“截尾法”可以快速判断一个数是否能被7整除，但有一种方法涉及到对数的拆分和重组，类似于截尾法的思路：

• 将一个数的末位数字截去，然后用剩下的数减去末位数字的2倍（如果差是负数，则加上7的倍数使其变为正数）。如果结果能被7整除，则原数也能被7整除。但这种方法并不是纯粹的截尾法，因为它涉及到了对截去部分的进一步操作。

不过，更常用的方法是利用“割尾法”，即不断将数的末位数字去掉，然后从剩下的数中减去这个末位数字的7倍（注意调整符号），直到得到一个较小的数为止，再判断这个较小的数是否能被7整除。

2. 判断一个数是否能被11整除

对于11的整除性判断，有一个较为简单的截尾法：

• 将一个数的奇数位数上的数字之和与偶数位数上的数字之和分别求出，然后用它们的差（大数减小数，注意调整符号）去除以11。如果差能被11整除，则原数也能被11整除。

虽然这种方法没有直接“截取”末尾数字，但它通过奇偶位数的划分实现了类似的效果，可以视为一种广义的截尾法。

3. 判断一个数是否能被13整除

对于13的整除性判断，也存在一种类似的方法，但不如7和11那么直观或常用：

• 有一种方法是将一个数的末三位数与前面剩下的数所形成的差（可能需要乘以某个数来调整）来判断是否能被13整除。但这种方法相对复杂，且不如其他方法（如直接除法或利用其他数学性质）来得直观和高效。

总的来说，在整除判断中，虽然有时会用到类似于“截尾”的步骤，但真正起决定作用的是后续对剩余数字或拆分后数字的操作和计算。因此，在应用这些方法时，需要准确理解其背后的数学原理和操作步骤。
整除判断中的截尾法是一种通过截取整数的部分位数，并依据特定的数学规律，以快速判断该整数是否能被某个特定整数整除的方法。以下通过具体例子来说明截尾法的应用：

例子一：判断一个数是否能被7整除

问题描述：判断数字6139是否能被7整除。

截尾法应用：

1. 截尾：首先，截取6139的个位数字9。
2. 倍大：将截取的个位数9乘以2，得到18。
3. 相减：从截去个位后的数613中减去上一步得到的18，即613 - 18 = 595。
4. 验差：判断得到的差595是否能被7整除。由于595的个位数是5，且5乘以7的个位数是5，因此可以初步判断595的个位数与7的乘积的个位数相同，但还不能确定595能被7整除。此时，可以继续对595应用截尾法，或者直接进行除法验证。若继续应用截尾法，截取595的个位5，乘以2得10，再用59减去10得49，显然49能被7整除，因此6139也能被7整除。

结论：6139能被7整除。

例子二：判断一个数是否能被11整除

虽然11的整除性判断更常用的是奇偶位差法，但这里也可以通过一个类似截尾法的思路来简化说明（注意这不是严格意义上的截尾法，但有助于理解整除判断的不同方法）。

问题描述：判断数字341752是否能被11整除。

类似截尾法的思路（实际为奇偶位差法）：

1. 分组：将数字的奇数位和偶数位分别分组，奇数位为3、1、5，偶数位为4、7、2。
2. 求和：分别计算奇数位和偶数位上数字的和，奇数位和为3+1+5=9，偶数位和为4+7+2=13。
3. 做差：用大数减去小数，即13-9=4。
4. 验差：判断得到的差4是否能被11整除。由于4不能被11整除，因此原数341752也不能被11整除。但这里需要注意的是，实际上我们是通过奇偶位数字之和的差来判断的，而不是直接截取部分数字进行运算。

结论：341752不能被11整除。

需要注意的是，上述第二个例子中的方法更接近于奇偶位差法，而非严格意义上的截尾法。截尾法通常更直接地涉及截取整数的部分位数并进行特定的数学运算。然而，通过这两个例子，我们可以更好地理解整除判断中不同方法的应用和思路。

参考文献

1.文心一言
2.《初等数论》陈景润