【错题集-编程题】买卖股票的最好时机（四）（动态规划）

力扣对应题目链接：188. 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣（LeetCode）

牛客对应题目链接：买卖股票的最好时机(四)_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

一、分析题目

1、状态表示

为了更加清晰的区分买入和卖出，我们换成有股票和无股票两个状态。

• f[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 笔交易，此时处于有股票状态的最大收益。
• g[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 笔交易，此时处于无股票状态的最大收益。

2、状态转移方程

对于 f[i][j]，也有两种情况能在第 i 天结束之后，完成 j 笔交易，此时手里有股票的状态：

• 在 i-1 天的时候，手里有股票，并且交易了 j 次。在第 i 天的时候，啥也不干。此时的收益为 f[i - 1][j]。
• 在 i-1 天的时候，手里没有股票，并且交易了 j 次。在第 i 天的时候，买了股票。那么 i 天结束之后，就有股票了。此时的收益为 g[i - 1][j] - prices[i]。

上述两种情况，我们需要的是最大值，因此 f 的状态转移方程为：

f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]

对于 g[i][j]，我们有下⾯两种情况能在第 i 天结束之后，完成 j 笔交易，此时手里没有股票的状态：

• 在 i-1 天的时候，手里没有股票，并且交易了 j 次。在第 i 天的时候，啥也不干。此时的收益为 g[i - 1][j]。
• 在 i-1 天的时候，手里有股票，并且交易了 j - 1 次。在第 i 天的时候，把股票卖了。那么 i 天结束之后，我们就交易了 j 次。此时的收益为 f[i - 1][j - 1] + prices[i]。

上述两种情况，我们需要的是最大值，因此 g 的状态转移方程为：

g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i])

它们之间交易关系如下：

3、初始化

• 当处于第 0 天的时候，只能处于买入过⼀次的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
• 为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态起不到干扰的作⽤，我们统统将它们初始化为 -INF（用 INT_MIN 在计算过程中会有溢出的风险，这⾥ INF 折半取 0x3f3f3f3f ，足够小即可）。

4、填表顺序

从上往下填每一行，每一行从左往右，两个表⼀起填。

5、返回值

返回处于卖出状态的最大值，但是我们也不知道是交易了几次，因此返回 g 表最后一行的最大值。

6、优化

我们的交易次数是不会超过整个天数的一半的，因此我们可以先把 k 处理一下，优化一下问题的规模：k = min(k, n / 2)。

二、代码

//力扣
//【动态规划-二维dp-2个状态】
class Solution {
    //f[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于“买入”状态下的最大利润
    //g[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于“卖出”状态下的最大利润
private:
    const int INF=0x3f3f3f3f;
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        k=min(k, n/2); //优化:处理最多交易次数
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k+1, -INF));
        vector<vector<int>> g(n, vector<int>(k+1, -INF));
        f[0][0]=-prices[0], g[0][0]=0;
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<=k; j++)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j], g[i-1][j]-prices[i]);
                g[i][j]=g[i-1][j];
                if(j>=1) g[i][j]=max(g[i][j], f[i-1][j-1]+prices[i]);
            }
        }
        int res=0;
        for(int j=0; j<=k; j++)
            res=max(res, g[n-1][j]);
        return res;
    }
};

//【动态规划-二维dp-2k+1个状态】
class Solution {
    //dp[i][0] -- 没有操作
    //下面j为奇数：买入；j为偶数：卖出 (j的范围：1~2k-1)
    //dp[i][j] -- 第1~k次买入
    //dp[i][j+1] -- 第1~k次卖出
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2*k+1));
        for(int j=1; j<2*k; j+=2)
            dp[0][j]=-prices[0];
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<2*k; j+=2)
            {
                dp[i][j+1]=max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j]-prices[i]);
                dp[i][j+2]=max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1]+prices[i]);
            }
        }
        return dp[n-1][2*k];
    }
};

//牛客
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1010, M=110;
int prices[N];
int f[N][M], g[N][M];
//f[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于“买入”状态下的最大利润
//g[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于“卖出”状态下的最大利润

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i=0; i<n; i++)
        cin >> prices[i];
    memset(f, -INF, sizeof(f));
    memset(g, -INF, sizeof(g));
    int res=0;
    f[0][0]=-prices[0], g[0][0]=0;
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<=k; j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i-1][j], g[i-1][j]-prices[i]);
            g[i][j]=g[i-1][j];
            if(j>0) g[i][j]=max(g[i][j], f[i-1][j-1]+prices[i]);
            res=max(res, g[i][j]);
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

//值得学习的代码
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010, M = 110;

int n, k, p[N];
int f[N][M], g[N][M];

int main()
{
    cin >> n >> k;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> p[i];

    k = min(k, n / 2);
    for(int j = 0; j <= k; j++) f[0][j] = g[0][j] = -0x3f3f3f3f;
    f[0][0] = -p[0], g[0][0] = 0;

    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= k; j++)
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - p[i]);
            g[i][j] = g[i - 1][j];
            if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + p[i]);
        }
    }

    int ret = 0;
    for(int j = 0; j <= k; j++) ret = max(ret, g[n - 1][j]);

    cout << ret << endl;

    return 0;
}

三、反思与改进

买卖股票这种类似有系列的题目，需要把核心知识点彻底弄熟。