LeetCode | LCR 126.斐波那契数

斐波那契数是经典的递归解法，其定义为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，但是对于较大的𝑛，这种递归方法会非常慢。因为每次计算fib(n)时，它会重复计算许多子问题。例如，计算fib(5) 会计算fib(3) 两次，计算fib(2)三次，等等。这导致了大量的重复计算，时间复杂度为$O(2^n)$。可以考虑滚动数组的思想优化算法效率，这种只需要遍历一次数组且不需要额外的变量，时间复杂度$O(n)$，空间复杂度$O(1)$

class Solution(object):
    def fib(self, n):  # 递归解法
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

    def fib(self, n):  # 滚动数组
        a = 0
        b = 1
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        ans = a + b
        while n > 2:
            a = b
            b = ans
            ans = a + b
            n -= 1
        return ans
        
    def fib(self, n: int) -> int:  # 滚动数组规范化写法
        MOD = 10 ** 9 + 7
        if n < 2:
            return n
        p, q, r = 0, 0, 1
        for i in range(2, n + 1):
            p = q
            q = r
            r = (p + q) % MOD
        return r

看了题解滚动数组的方法其实还可以再优化，也就是用矩阵快速幂的方法降低时间复杂度

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        MOD = 10 ** 9 + 7
        if n < 2:
            return n

        def multiply(a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
            c = [[0, 0], [0, 0]]
            for i in range(2):
                for j in range(2):
                    c[i][j] = (a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j]) % MOD
            return c

        def matrix_pow(a: List[List[int]], n: int) -> List[List[int]]:
            ret = [[1, 0], [0, 1]]
            while n > 0:
                if n & 1:
                    ret = multiply(ret, a)
                n >>= 1
                a = multiply(a, a)
            return ret

        res = matrix_pow([[1, 1], [1, 0]], n - 1)
        return res[0][0]