509. 斐波那契数

Problem: 509. 斐波那契数

思路

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

斐波那契数列是一个典型的递归问题，但是直接使用递归会导致大量的重复计算，因此我们可以使用动态规划的思想来优化。动态规划的核心思想是将大问题分解为小问题，然后从小问题开始解决，逐步解决大问题。

解题方法

1.暴力搜索：直接使用递归公式进行计算，但是这种方法存在大量的重复计算，时间复杂度高，不推荐使用。
2.记忆化搜索：在暴力搜索的基础上，使用一个数组来保存已经计算过的斐波那契数，避免重复计算。
3.动态规划：使用一个数组dp，其中dp[i]表示第i个斐波那契数，然后从小到大依次计算dp[i]，最后返回dp[n]。
4.动态规划（空间O(1)）：在动态规划的基础上，进一步优化空间复杂度。由于dp[i]只与dp[i-1]和dp[i-2]有关，因此我们只需要保存这两个状态，无需保存整个dp数组。

复杂度

时间复杂度:

时间复杂度: $O(n)$，需要遍历一次序列。

空间复杂度:

空间复杂度: $O(1)$，只需要常数个变量。

Code

解法一 （暴力搜索）

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n == 0) {
            return 0;
        }
        if(n == 1) {
            return 1;
        }
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

解法二 （记忆化搜索）

class Solution {
    public int fib(int n) {
        int[] arr = new int[n + 1];
        Arrays.fill(arr, -1);
        return f(n, arr);
    }
     public int f(int n, int[] arr) {
        if(n == 0) {
            return 0;
        }
        if(n == 1) {
            return 1;
        }
        // 命中缓存
        if(arr[n] != -1) {
            return arr[n];
        }
        int ans = f(n - 1, arr) + f(n - 2, arr);
        // 记录缓存
        arr[n] = ans;
        return ans;
    }
}

解法三（动态规划）

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

解法四（动态规划（空间O(1)））

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int Lastlast = 0, Last = 1;
        for (int i = 2, cur; i <= n; i++) {
            cur = Lastlast + Last;
            Lastlast = Last;
            Last = cur;
        }
        return Last;
    }
}