斐波那契数列
斐波那契数列
- 斐波那契数列的定义与由来
- 斐波那契数列的定义
斐波那契数列是指这样一个数列：1,1，2,3,5,8,13,21,34,55,89……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和
2.斐波那契数列的由来
在数学历史上，欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契(LFibonacci,1170一1250)。他早年就随其父在北非师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成《算经xq2]》,也翻译成《算盘书》。这部很有名的著作主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题的汇集，内容涉及整数和分数算法、开方法、二次和三次方程以及不定方程。
- 斐波那契数列的通项公式
1.递推公式
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…… ，以如下被以递归的方法定义：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，显然这是一个线性递推数列。
2.通项公式内容
如上公式又被称为“比内公式”，使用无理数表示有理数的一个范例，且由上式得到的值必为正整数
3.通项公式推导
①利用特征方程（线性代数解法）
②待定系数法构造等比数列（初等代数解法）
③母函数法
三．斐波那契数列与黄金分割的关系
这样一个完全是自然数的数列，通项公式是用无理数来表达的。而且当 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）
1÷1=1
1÷2=0.5
2÷3=0.666...
3÷5=0.6
5÷8=0.625
......
55÷89=0.617977...
144÷233=0.618025...
......
越到后面前一项与后一项比值越接近黄金比
证明：
四．斐波那契螺旋线
1.斐波那契螺旋线的性质
在此前对斐波那契螺旋线的探究当中，我们发现了斐波那契螺旋线在事物发展上有普遍性。不过由于斐波那契数列相邻两项的比值只是一个收敛的数列，斐波那契螺旋线并不是完全平顺的，它是另一种更加平顺的螺线——对数螺线，在有理数域上的近似。 对数螺线在极坐标的图像如下：
对数螺线在直角坐标系下的图像如下：
2.斐波那契螺旋线与黄金螺旋线的区别
黄金螺旋线在外形上与斐波那契螺旋线十分相似，它们之间的区别在于，，斐波那契螺旋线有起点，而黄金螺旋线没有起点，，黄金螺旋线向内可以无限小，向外则可以无限大
如图为斐波那契螺旋线：
如图为黄金矩形内的黄金螺旋线：
3.斐波那契螺旋线对自然界有非常的意义
如果您曾经对植物叶子的排列方式、菠萝的质地或松果的鳞片着迷，那么您就无意中目睹了自然界中数学模式的例子。
将这些植物学特征联系在一起的是一个共同特征：它们根据称为斐波那契数列的数字序列以螺旋模式排列。这些螺旋线，也称为斐波那契螺旋线，在植物中很常见，几个世纪以来一直让科学家着迷。
斐波那契螺旋线在植物中如此普遍，以至于它们被认为代表了一种古老且守恒的特征，它可以追溯到植物进化的最早阶段，延续到以目前的形式存在。
然而，发表在最新一期《科学》杂志上的一项开创性研究挑战了这一观点。该研究检查了可追溯到4亿多年前的植物化石的叶子和结构中的螺旋结构。这一新的研究发现得到了学术界的高度评价，称其“改变了我们对自然界数学模式的认知”。
在这篇题为“叶子和孢子囊在早期多叶植物中以罕见的非斐波那契螺旋状发育”的论文中，研究人员指出，叶子排列成独特的螺旋状，这在今天的自然界中很常见，但在最初地球表面的最古老的陆生植物中并不常见。相反，古代植物被发现有另一种类型螺旋。这否定了长期以来关于植物螺旋叶进化的理论，表明它们是沿着两条独立的进化路径进化。
如图为人耳朵的斐波那契螺旋线
如图为海上飓风的斐波那契螺旋线
如图为向日葵的种子的排布遵循斐波那契螺旋线
