SPSS之主成分分析

2024-05-10 11:58:09
开发
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SPSS中主成分分析功能在【分析】--【降维】--【因子分析】中完成（在SPSS软件中，主成分分析与因子分析均在【因子分析】模块中完成）。

求解主成分通常从分析原始变量的协方差矩阵或相关矩阵着手。

（1）当变量取值的度量单位相同时，选择从协方差矩阵求解；

（2）当变量取值的度量单位不同时，为了消除不同量纲带来的不利影响，应先对数据进行标准化处理，即选择从相关矩阵求解（SPSS默认）。

数据标准化。数据标准化通过【分析】--【描述统计】--【描述】中，勾选“将标准化得分另存为变量”来实现，SPSS会自动将标准化后的数据存入数据表。

相关性检验。进行主成分分析的前提是变量之间存在较高程度的相关性，即信息冗余。可通过相关系数矩阵（大部分>0.3）,KMO值（KMO值至少≥0.5,），Bartlett球形度检验（p<α）来完成变量相关性的检验。在SPSS中通过在【分析】--【降维】--【因子分析】--【描述】对话框中勾选相应选项来完成。

主成分的选取。原则：
（1）方差累积贡献率达到80%或85%及以上；
（2）选取特征值 $\lambda _{i}> 1$ 对应的主成分；
（3）碎石图。

主成分系数。SPSS输出结果中可以直接得到的是因子载荷矩阵 $\left ( a_{ij} \right )_{p\times p}$ ，注意因子载荷矩阵不是主成分系数矩阵 $\left ( u{}'_{ij} \right )_{p\times p}$ 。 $a_{ij} =\sqrt{\lambda _{i}}u_{ij}$ ，即将因子载荷矩阵第i列的元素除以 $\sqrt{\lambda _{i}}$ ，可得对应的主成分系数表，该表中的第i列的元素即为主成分方程中第i个主成分 $Y_{i}=u_{i1}X_{1}+u_{i2}X_{2}+\begin{matrix} & ...& \end{matrix}+u_{ip}X_{p}$ 的系数。

主成分得分。求出主成分系数后，将原始变量Xi的标准化数值代入主成分方程 $Y_{i}=u_{i1}X_{1}+u_{i2}X_{2}+\begin{matrix} & ...& \end{matrix}+u_{ip}X_{p}$ ，即可计算主成分得分（SPSS不会直接输出结果）。特别当主成分个数为2时，可在二维平面中绘制散点图（SPSS中通过【图形】--【旧对话框】--【散点/点状】实现），继而分析各样品的分布情况。

开始实战！

文件：大学生价值观.sav，给出了20名大学生关于价值观的6项测验结果，即样品数n=20,变量数p=6。应用主成分分析方法，分析对大学生价值观起主要作用的变量。

第一步先将数据标准化：[Analyze]→[Descriptive Statistics]→[Descriptives]，将六个变量全部添加到“Variable”中，并勾选上“Save standardized values as variables”。

原数据与标准化后的数据对比：

主成分分析步骤：[Analyze]→[Dimension Reduction]→[Factor Analysis]，将标准化后的六个变量全部添加到“Variables”中；
在【Descriptives】对话框中选中“Univariate descriptives”、“Initial solution”和“Coefficients”、“Significance levels”、“Inverse”、“KMO and Bartlett’s test of sphericity”；
在【Extraction】对话框中选择“Principal components”方法，输出选择“Unrotated factor solution”和“Scree plot”；
在【Rotation】对话框中选择“Varimax”方法，输出选择“Rotated solution”和“Loading plot”。
在【Factor Scores】对话框中勾选“Save as variables”保存为变量，并选择“Bartlett”方法，同时勾选“Display factor score coefficient matrix”输出因子得分系数矩阵。

主成分分析结果分析：

相关系数矩阵：将相关系数与0.3作比较，

得出结论：对发展机会的看法和对社会地位的看法的相关系数最高，为0.879；对发展机会的看法和对职位升迁的态度，相关系数为0.826；工作投入程度和对社会地位的看法呈负相关，相关系数为-0.853。

从sig矩阵可知适合做主成分分析。

KMO与Bartlett检验：KMO值与0.5作比较，KMO值为0.637>0.5；Bartlett球形度检验的统计量值，检验p值＜0.05，sig<a，适合做主成分分析。

主成分分析的初始解：

特征值与方差贡献度：因为前 2 个主成分的累积方差贡献率达到了 84.115% ，且对应的 $\lambda _{i}$ 分别是3.436、1.611，所有 $\lambda _{i}$ ＞1，所以选取前 2个主成分。

碎石图：第 3 个特征值以后，变化的趋势开始趋于平稳，所以，取前 2 个主成分是合适的。

因子载荷矩阵：对发展机会的看法、对社会地位的看法、对职位升迁的态度、领导风格的偏好在第1个因子上有较高载荷，所以第1个因子可看成是这几个变量的综合变量。

主成分系数矩阵：

主成分方程： $Y_{i}=u_{i1}X_{1}+u_{i2}X_{2}+\begin{matrix} & ... & \end{matrix}+u_{ip}X_{p}$

$Y_{1}=-0.363X_{1}+0.264X_{2}+0.365X_{3}-0.166X_{4}+0.144X_{5}-0.056X_{6}$

$Y_{2}=-0.216X_{1}+0.106X_{2}-0.097X_{3}+0.441X_{4}+0.243X_{5}+0.453X_{6}$

主成分得分：

主成分二维简单散点图（若提取2个主成分）：插入X轴和Y轴，标记样品号。落入第一、四象限的样品相对比较好，落入第二、三象限的样品相对比较差。

结论：
样品号1，4落入第一象限;无样品号落入第四象限，这两个象限内第一主成分所占比重最大，所以1，4较好。
样品号2，3，5，6落入第二象限，无样品号落入第三象限，这两个象限内第二主成分所占比重最大，所以2，3，5，6较差。

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