1. 题意
给定两个串 s t s\ t s t,求最长公共子序列长度。
2. 题解
2.1 动态规划
写出状态转移方程
d p [ i ] [ j ] = { d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 , s [ i − 1 ] = = t [ j − 1 ] max ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) , s [ i − 1 ] ≠ t [ j − 1 ] dp[i][j]= \begin{cases} dp[i-1][j-1]+1, \quad s[i-1] == t[j-1]\\ \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), \quad s[i-1] \ne t[j-1] \end{cases} dp[i][j]={dp[i−1][j−1]+1,s[i−1]==t[j−1]max(dp[i−1][j],dp[i][j−1]),s[i−1]=t[j−1]
转换为递推即可
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size();
int n = text2.size();
vector< vector<int> > dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
/*dp[0][0] = 0;*/
for (int i = 1;i <= m; ++i) {
for (int j = 1;j <= n; ++j) {
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
2.2 空间优化一
根据动态规划的递推关系,我们可以得到下面的图示关系。
当前行的值事实上只与上一行和本行有关。
所以我们可以用两行的滚动数组进行优化。
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size();
int n = text2.size();
vector< vector<int> > dp( 2, vector<int>(n + 1, 0));
/*dp[0][0] = 0;*/
for (int i = 1;i <= m; ++i) {
for (int j = 1;j <= n; ++j) {
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i%2][j] = dp[(i+1)%2][j - 1] + 1;
}
else {
dp[i%2][j] = max(dp[(i+1)%2][j], dp[i%2][j - 1]);
}
}
}
return dp[m%2][n];
}
};
2.3 空间优化二
事实上我们甚至并不需要两行。
我们只需要能使得递推能够进行就行。
尝试压到一个数组,当计算到 d p [ j ] dp[j] dp[j]时,我们会发现。
d p [ j − 1 ] = d p [ i ] [ j − 1 ] d p [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[j-1]=dp[i][j-1] \\ dp[j]=dp[i-1][j] dp[j−1]=dp[i][j−1]dp[j]=dp[i−1][j]
我们发现少了一个 d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i-1][j-1] dp[i−1][j−1], 那它去哪了呢,
它被计算 d p [ j − 1 ] dp[j-1] dp[j−1]的时候给覆盖了。
所以我们每次计算前需要先保存 d p [ j ] = d p [ i ] [ j ] dp[j]=dp[i][j] dp[j]=dp[i][j], 留给 d p [ j + 1 ] = d p [ i ] [ j + 1 ] dp[j+1]=dp[i][j+1] dp[j+1]=dp[i][j+1]使用。
上代码
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size();
int n = text2.size();
/*dp[0][0] = 0;*/
vector<int> dp(n + 1, 0);
int pre = 0;
for (int i = 1;i <= m; ++i) {
pre = dp[0];
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
int temp = dp[j];
if (text1[i - 1] == text2[j - 1])
dp[j] = pre + 1;
else
dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]);
pre = temp;
}
}
return dp[n];
}
};