最长公共上升子序列——DP

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。

输入
第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。
第二行包含 N 个整数，表示数列 A。
第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围
1 ≤ N ≤ 3000,序列中的数字均不超过 2e31−1。

Input
4
2 2 1 3
2 1 2 3

Output
2

解析：
这道题是最长公共子序列和最长上升子序列的结合。
f[i][j] 表示第一序列前 i 个数和第二序列前 j 个数，且以 b[j] 结尾的公共上升子序列 的集合。
f[i][j]的值表示 这个集合中的长度最大值。
状态转移：f[i][j]可分为 包含 a[i] 和不包含 a[i] 两类.
1.不包含 a[i] : f[i][j]=f[i-1][j];
2.包含 a[i] : 
当 a[i] ≠ b[j] 时，相当于 不包含 a[i]，f[i][j]=f[i-1][j];
当 a[i]  =  b[j] 时，就是 f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+1),其中 (1 ≤ k ＜ j)。   //可借鉴 最长上升子序列。

暴力算法 O(n^3)，一定超时啦。
可以发现 在当 a[i]=b[j]，寻找 f[i-1][k]的最大值的过程中，每次遍历一次循环很费时。
可以预处理一个值，在之前的过程中不断更新它，因为在每算一个状态的时候，都是从之前的状态转移过来的。
这样还能省去一层循环，时间复杂度 O(n^2)。 

代码一：暴力算法，未优化 

#include <bits/stdc++.h>
#include <math.h>
using namespace std;
//#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=3010;
int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];
void solve()
{
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
    {
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if (a[i]==b[j])
        {
            f[i][j]=max(f[i][j],1);
            for (int k=1;k<j;k++)
            {
                if (b[k]<a[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+1);
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
}
int main()
{
    ios;
    int T=1;
    //cin>>T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}

代码二：优化后 

#include <bits/stdc++.h>
#include <math.h>
using namespace std;
//#define int long long     //开 long long 暴空间
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=3010;
int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];
void solve()
{
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int maxx=1;
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if (a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],maxx);
            if (b[j]<a[i]) maxx=max(maxx,f[i-1][j]+1);      //只有此时才更新 maxx
        }
    }
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
}
int main()
{
    ios;
    int T=1;
    //cin>>T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}