试题 算法训练 数字三角形(本人粗暴解法+递推与记忆化搜索解法)

问题描述

　　（图３.１－１）示出了一个数字三角形。 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路
　　径，使该路径所经过的数字的总和最大。
　　●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　　●1＜三角形行数≤100；
　　●三角形中的数字为整数0，1，…99；

输入格式

　　文件中首先读到的是三角形的行数。

　　接下来描述整个三角形

输出格式

　　最大总和（整数）

样例输入

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出

30

咱就是说，看到这个题目马上想到当前路径的值加到下一个路径的值，最后在取出最大的路径值就可以了。

方法简单粗暴，直接开始吧，首先来看看我的思路吧

以题目例子为例

未标红的都是数组初始化的值，可以不管。

第一步是7，走到第二步，变化如下

第三步则同理

这里取max就是取当前路径步值最大的了，然后我们可以看到当前路径的首尾只能选一个，也就是j=1和j=i的情况，如上面中的8只能+10，0只能+16，而中间可以选两个，那么这个特殊判断一下就好了

以此类推，走完后，数值如下

如图所示，可以看到最大的就是那个30了

那么接下来看AC代码咯，一样的简单粗暴（有注释）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main() {
	int n,x;
	int d[105][105]={0};
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			cin>>d[i][j];
		}
	}
//正片开始	
	int qmax=d[1][1];  //初始化，也就是三角形的头部
	for(int i=2;i<=n;i++){  //从第二行开始
		for(int j=1;j<=i;j++){  //每列
			if(j!=1&&j!=i){    //中间那一块可以选两个
				d[i][j]+=max(d[i-1][j],d[i-1][j-1]);//加上大的那个
				qmax=max(qmax,d[i][j]);  //保证qmax是当前最大的
			}
			else{
				if(j==1){  //每行的首情况
					d[i][j]+=d[i-1][j];
					qmax=max(qmax,d[i][j]);  //这里也要保证qmax是最大的
				}
				else if(j==i){  //每行的尾情况
					d[i][j]+=d[i-1][j-1];
					qmax=max(qmax,d[i][j]); //这里也要保证qmax是最大的
				}
			}
			
		}
	}
	cout<<qmax;  //输出最大的qmax
}

上面的代码虽然已经能AC了，但咱们还是建议读者学习一下这个记忆化搜索。我们一步一步往下来呈现记忆化的过程。

上面AC的代码是按从顶往下的路径走法，可能复杂度为2^n次方，这个复杂度很不理想，虽然是暴力，但这个暴力还能在优化，优化后的复杂度可以为n^2。

我们首先来递推一下

如果按照从底向上的走法，那么就不需要考虑首尾的下标情况了，咱们直接看图

以此类推，最终变成

可以看到，最终我们只需要输出d[1][1]就ok了，省去了很多的麻烦

那么递推代码如下（也能AC）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main() {
	int n, x;
	int d[105][105] = { 0 };
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			cin >> d[i][j];
		}
	}
	//正片开始
	for (int i = n-1; i >= 1; i--) {  //从倒数第二行开始
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			d[i][j] += max(d[i + 1][j], d[i + 1][j + 1]);
		}
	}
	cout << d[1][1];
}

可以看到代码少了很多，而且复杂度为n^2

那在递归搜索一下，代码会更简单（但会运行超时，只有57分）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int n, x;
int d[105][105] = { 0 }, r[105][105] = {0};
int dfs(int i, int j) {
	/*if (i == n)return d[i][j];
	return d[i][j] += max(dfs(i + 1, j), dfs(i + 1, j + 1));*/
	if (i == n)return d[i][j]; //递归到边界了，返回
	return r[i][j] = max(dfs(i + 1, j), dfs(i + 1, j + 1)) + d[i][j];
	
}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			cin >> d[i][j];
		}
	}
	//正片开始
	//让d数组始终保持数字三角形的数据原状态，避免递归数据添加混乱
	for (int i = 1; i <= n; i++)r[n][i] = d[n][i];//r数组是从底往上走，这里先初始化底部的数据
	//但其实这个for的初始化赋值也可以省略掉，因为递归过程已经帮我们算进去了
	cout << dfs(1,1);
}

dfs中注释的是我一开始写的递归，但发现数据好像被重复计算，导致数据加进去会有误，所以搞了一个辅助数组r

那为什么会超时呢，因为有大量的重复计算，此时，我们只需要小小的加一个记忆化的代码就ok了

也就是当r[i][j]>0的时候直接return 因为r[i][j]已经被max()中计算过了，不需要在回头算

代码如下（AC）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int n, x;
int d[105][105] = { 0 }, r[105][105] = {0};
int dfs(int i, int j) {
	if (r[i][j])return r[i][j];//记忆，默认为0，大于0说明已经算过了
	if (i == n)return d[i][j]; //递归到边界了，返回
	return r[i][j] = max(dfs(i + 1, j), dfs(i + 1, j + 1)) + d[i][j];
	
}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			cin >> d[i][j];
		}
	}
	//正片开始
	cout << dfs(1,1);
}

复杂度为n^2