数学系的数字信号处理：连续信号、滤波器与采样定理

本专栏：数学系的数字信号处理 的前置知识主要有：数学分析（傅立叶级数的部分），泛函分析（$L^p$空间的部分）

连续信号、滤波器与采样定理

我们在数学上粗略地定义信号和滤波器，目的是快速理解相关知识的结构，而不是花费大量的时间在细节上。
本文中的 $\mathcal{F}$ 符号均指傅立叶变换，我们也常记 $\mathcal{F}(f)$ 为 $\hat{f}$

定义
信号：即把实数域映到复数域的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$，一般是分段连续的

滤波器：把信号映为信号的变换

定义：时不变性
信号 $f$ 的时不变算子是如下定义的 $f_a$
$$f_a(t)=f(t-a),a\in \mathbb{R}$$滤波器 $L$ 称为时不变的，若对任意信号 $f$ 和实数 $a$，有 $L(f_a)=(Lf{)}_a$

定理：线性时不变滤波器的结构
设 $L$ 是分段连续信号 $f$ 上的线性时不变滤波器，则存在可积函数 $h$ ,使得对任意信号 $f$ ，有 $L(f)=f\ast h$；
此时称 $h$ 为冲激响应函数，称$h$ 的傅立叶变换 $\tilde{h}$ 为系统函数

证明思路

引理：（线性时不变滤波器使输入输出同频）
设线性时不变滤波器 $L$，$t$ 为自变量，则 $\forall \lambda \in \mathbb{R}$，存在函数 $h$ ，使得
$$L(e^{i\lambda t})=\sqrt{2\pi }\tilde{h}(\lambda )e^{i\lambda t}$$

引理的证明思路：（不严格）
设 $h^{\lambda }(t)=L(e^{i\lambda t})$，由时不变性，
$$h^{\lambda }(t-a)=L(e^{i\lambda (t-a)})$$由线性性 $$L(e^{i\lambda (t-a)})=e^{-i\lambda a}{h}^{\lambda }(t)$$故 $$h^{\lambda }(t)=e^{i\lambda a}{h}^{\lambda }(t-a)$$取 $a=t$，得到
$$h^{\lambda }(t)=e^{i\lambda t}{h}^{\lambda }(0)$$再取 $\tilde{h}$，使其满足
$$\tilde{h}(\lambda )=\frac{h^{\lambda }(0)}{\sqrt{2\pi }}$$

注：这个证明并没有解释结论形式的来源，也未解释满足所要求 $\tilde{h}$ 的存在性

定理的证明（不严格）
$$L(f)(t)=L{\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}(f)(t)=L[\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\lambda )e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda ]$$上式通过 Riemann 和近似，可以得到
$$\begin{array}{rl}L(f)(t)& \approx L[\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _j\hat{f}({\lambda }_j)e^{i{\lambda }_{j}t}\Delta \lambda ]\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _j\hat{f}({\lambda }_j)L(e^{i{\lambda }_{j}t})\Delta \lambda \\ & \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\lambda )L(e^{i\lambda t})\mathrm{d}\lambda \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\lambda )\hat{h}(\lambda )e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\widehat{f\ast h}(\lambda )e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda \\ & =(f\ast h)(t)\end{array}$$

定义：因果滤波器
输入信号到达后才有输出信号的滤波器，即
$$\forall a\in \mathbb{R},\forall t<a,if:f(t)=0,then:Lf(t)=0$$

定理：因果滤波器的刻画
设线性时不变滤波器 $L$ 的冲激响应函数为 $h$，则 $L$ 因果当且仅当 $h(t)=0(t<0)$
（不加证明）

推论：相应于 $L$ 的系统函数 $\hat{h}$ 在 $L$ 因果的条件下，可改写为
$$\hat{h}(\lambda )={\int }_0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}h(t)e^{-i\lambda t}\mathrm{d}t=\frac{\mathcal{L}(h)(i\lambda )}{\sqrt{2\pi }}$$其中 $\mathcal{L}$ 为拉普拉斯变换 $\mathcal{L}(f)(t)={\int }_0^{\infty }f(\lambda )e^{-\lambda t}\mathrm{d}\lambda$

定义：频率带限信号
即满足存在 $\Omega >0$，使得 $\mathcal{F}(f)(\lambda )=0(|\lambda |>\Omega )$ 的信号 $f$；当 $\Omega$ 是使上述条件成立的最小频率时，称 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \Omgea at position 19: …riangleq \frac{\̲O̲m̲g̲e̲a̲}{2\pi} 为自然频率（Nyquist频率），$2v$ 称为Nyquist 抽样率

定理：Shannon-Whittaker抽样定理
设 $\mathcal{F}(f)$ 分段光滑且连续，且信号 $f$ 带限 $\Omega$，则 $f$ 可由可数个点确定，即
$$f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }f(t_j)\frac{\sin [\Omega (t-t_j)]}{\Omega (t-t_j)}$$其中 $t_j=\frac{j\pi }{\Omega },j=0,\pm 1,\pm 2,\dots$

证明：
先将 $\hat{f}(\lambda )$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上展为傅立叶级数，则
$$\hat{f}(\lambda )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{i\pi k\frac{\lambda }{\Omega }}$$其中
$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{1}{2\Omega }{\int }_{-\Omega }^{\Omega }\hat{f}(\lambda )e^{-i\pi k\frac{\lambda }{\Omega }}\mathrm{d}\lambda \\ & =\frac{\sqrt{2\pi }}{2\Omega }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\lambda )e^{-i\pi k\frac{\lambda }{\Omega }}\mathrm{d}\lambda \\ & =\frac{\sqrt{2\pi }}{2\Omega }f(-\frac{k\pi }{\Omega })\end{array}$$则
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\lambda )e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda \\ & ={\int }_{-\Omega }^{\Omega }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\frac{f(t_j)}{2\Omega }{e}^{i\lambda (t-t_j)}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\frac{f(t_j)}{2\Omega }{\int }_{-\Omega }^{\Omega }{e}^{i\lambda (t-t_j)}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{j=-\infty }^{\infty }f(t_j)\frac{\sin [\Omega (t-t_j)]}{\Omega (t-t_j)}\end{array}$$

注：此定理中的级数一致收敛，但收敛速度很慢

定义：分辨率
设 $f\in L^2(\mathbb{R})$，则 $f$ 在 $a\in \mathbb{R}$ 处的分辨率定义为
$${\Delta }_{a}f=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }(t-a{)}^2|f(t){|}^2\mathrm{d}t}{{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^2\mathrm{d}t}$$

性质
$f$ 的图像越集中在 $t=a$ 处，则 ${\Delta }_{a}f$ 越小

定理：不确定性原理
设 $f\in L^2(\mathbb{R}),f(\infty )=0$，则对任意 $a,\alpha \in \mathbb{R}$，有 $${\Delta }_{a}f{\Delta }_{\alpha }\hat{f}\ge \frac{1}{4}$$

证明
可以验证
$$\{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha )(t-a)\}f-\{(t-a)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha )\}f=f$$不失一般性，设 $||f||=1$
则$$\begin{array}{rl}||f||& =<(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha )(t-a)f,f(t)>-<(t-a)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha )f,f(t)>\\ & =<(t-a)f(t),(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+i\alpha )f>-<(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha )f,(t-a)f(t)>\\ & =1\end{array}$$结合三角不等式，Schwarz不等式，有
$$\begin{array}{rl}1& \le 2||(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha )f||\cdot ||(t-a)f(t)||\\ & =2||(\lambda -a)\hat{f}(\lambda )||\cdot ||(t-a)f(t)||\\ & =2\sqrt{{\Delta }_{a}f{\Delta }_{\alpha }\hat{f}}\end{array}$$