数学系的数字信号处理：傅立叶变换

本专栏：数学系的数字信号处理 的前置知识主要有：数学分析（傅立叶级数的部分），泛函分析（$L^p$空间的部分）

傅立叶变换

定义：Fourier 变换
设 $f(x)$ 连续可微，且 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)|\mathrm{d}t<\infty$，则函数
$$\mathcal{F}(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-ixt}\mathrm{d}t$$ 称为 $f(x)$ 的傅立叶变换
$${\mathcal{F}}^{-1}(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\lambda )e^{i\lambda x}\mathrm{d}\lambda$$称为 $f(x)$ 的傅立叶逆变换

注：

1. 有的书上定义的傅立叶变换的系数可能有所不同，比如说 $\mathcal{F}$ 的系数为1，而 ${\mathcal{F}}^{-1}$ 的系数为 $\frac{1}{2\pi }$，无论如何，这两者之积始终为 $\frac{1}{2\pi }$
2. 若 $f(x)$ 存在间断点，则间断点处的函数值用 $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$ 代替
3. 条件${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)|\mathrm{d}t<\infty$ 是为了 $\mathcal{F}(f)(x)$ 有意义：
   $$\begin{array}{rl}|\mathcal{F}(f)(x)|& \le \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)e^{-ixt}|\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)|\mathrm{d}t<\infty \end{array}$$但这个条件稍强，多数情况下可减弱为积分条件收敛，也可保证 $\mathcal{F}(f)(x)$ 有意义

性质

• $\mathcal{F}$ 是可逆线性算子：${\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}(f)=f$
• ${\mathcal{F}}^{-1}$ 和 $\mathcal{F}$ 互为伴随算子，即$$<\mathcal{F}(f),g>=<f,{\mathcal{F}}^{-1}(g)>$$
• 多项式可以从变换中取出：$$\mathcal{F}[t^{n}f(t)](x)=i^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[\mathcal{F}(f)(x)]$$$${\mathcal{F}}^{-1}[t^{n}f(t)](x)=(-i{)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[{\mathcal{F}}^{-1}(f)(x)]$$
• 微分算子可以从变换中取出：$$\mathcal{F}[f^{(n)}t](x)=(ix{)}^n\mathcal{F}(f)(x)$$$${\mathcal{F}}^{-1}[f^{(n)}t](x)=(-ix{)}^n{\mathcal{F}}^{-1}(f)(x)$$
• 做线性代换：$$\mathcal{F}[f(t-a)](x)=e^{-iax}\mathcal{F}(f)(x)$$$$\mathcal{F}[f(bt)](x)=\frac{1}{b}\mathcal{F}(f)(\frac{x}{b})$$
• 等价形式：$$\mathcal{F}(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathcal{L}(f)(ix)$$其中 $f(t)=0(t<0)$
  $$\mathcal{L}(f)(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-ts}\mathrm{d}t$$称为Laplace（拉普拉斯）变换

定义：卷积
设 $f,g\in L^2$，则 $$\begin{array}{rl}(f\ast g)(t)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t-x)g(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)g(t-x)\mathrm{d}x\end{array}$$称为 $f$ 和 $g$ 的卷积

卷积与傅立叶变换
设 $f,g\in L^2$ ，则
$$\mathcal{F}[f\ast g]=\sqrt{2\pi }\mathcal{F}(f)\cdot \mathcal{F}(g)$$$${\mathcal{F}}^{-1}[f\cdot g]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathcal{F}}^{-1}(f)\ast {\mathcal{F}}^{-1}(g)$$

注：记住其中一个可以推出另一个

Plancherel 定理
傅立叶（逆）变换具有 $L^2$ 空间上的保范性，即 $\forall f,g\in L^2$，有
$$<\mathcal{F}(f),\mathcal{F}(g)>=<f,g>$$$$<{\mathcal{F}}^{-1}(f),{\mathcal{F}}^{-1}(g)>=<f,g>$$特别地，$$||\mathcal{F}(f)||=||f||$$

证明
只需利用 ${\mathcal{F}}^{-1}$ 和 $\mathcal{F}$ 互为伴随算子这一点