数字信号处理基础

一、连续系统的时域分析

  如电路工作，信号传播就是连续系统

1.1 系统的概念

1. 线性系统与非线性系统
     同时满足可加性和齐次性的系统称为线性系统，如：
   $$若f_1(t)\to y_1(t),f_2(t)\to y_2(t)$$
     对于任意常数$a_1$和$a_2$，有
   $$a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)\to a_1{y}_1(t)+a_2{y}_2(t)$$
     不满足以上关系为非线性系统

2. 时不变系统
     如果系统元件参数不随时间变化的则称为时不变系统：
   $$\begin{array}{rl}& 若f(t)\to y(t)\\ & 则f(t-t_0)\to y(t-t_0)\end{array}$$
     如果系统既是线性的也是时不变的，则称为线性时不变系统（LTI）

3. 因果系统
     如果在激励信号作用之前系统不产生响应，这样的系统称为因果系统

1.2 常用基本信号

1. 直流信号
   $$f(t)=A(-\infty <t<\infty )$$

2. 正弦信号
   $$f(t)=A\sin (\omega t+\phi )$$

3. 单位阶跃信号
   $$\epsilon (t)=\{\begin{array}{l}1(t>t_0)\\ 0(t<t_0)\end{array}$$

4. 斜坡信号
   $$r(t)=\{\begin{array}{l}t(t\ge t_0)\\ 0(t<t_0)\end{array}$$

5. 单位冲激信号（又称狄拉克函数）
   $$\{\begin{array}{l}\delta (t)=0t\ne 0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1\end{array}$$

6. 指数信号
   $$f(t)=A{e}^{-\alpha t}(\alpha >0,t>0)$$

7. 复指数信号
   $$f(t)=A{e}^{(\alpha +j\omega )t}$$
     根据欧拉公式：
   $$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t{e}^{-j\omega t}=\cos \omega t-j\sin \omega t$$
     可得：
   $$f(t)=A{e}^{\alpha t}(\cos \omega t+j\sin \omega t)$$

1.3 卷积

1.3.1 卷积的定义

  首先任意信号$f(t)$都可以表示为冲激信号的线性组合，如
$$f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )\delta (t-\tau )\mathrm{d}\tau$$
  此时设定义在(-∞,∞)上的两个函数$f_1(t)$和$f_2(t)$，则积分
$$y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_1(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$
  称为$f_1(t)$和$f_2(t)$的卷积，并记为
$$y(t)=f_1(t)\ast f_2(t)$$

1.3.2 卷积的性质

1. 分配律
   $$[f_1(t)+f_2(t)]\ast f_3(t)=f_1(t)\ast f_3(t)+f_2(t)\ast f_3(t)$$

2. 微分性质
     若
   $$y(t)=f_1(t)\ast f_2(t)$$
     则
   $$y^{\prime }(t)=f_1(t)\ast f_2^{\prime }(t)=f_1^{\prime }(t)\ast f_2(t)$$

3. 积分性质
   $$y^{(-1)}(t)=f_1(t)\ast f_2^{(-1)}(t)=f_1^{(-1)}(t)\ast f_2(t)$$

4. 延迟性质
   $$f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$$

1.3.3 常用信号卷积表

二、傅里叶变换

  傅里叶变换主要是利用傅里叶级数，可以让任意信号变成多次谐波的正弦信号之和的特点，从而对系统进行频域分析。此时就可以直接分析连续系统的频域特性，将其进行傅里叶反变换从而直接得到时域特性。

三、拉普拉斯变换

  拉普拉斯变换就是在傅里叶变换的推广下，进行复频域分析，更加简化时域系统分析。

四、离散系统的时域分析

  离散系统通常为软件上的处理，如对一些A/D转换的数字信号的处理

4.1 时域离散信号

1. 单位脉冲序列
   $$\delta (n)=\{\begin{array}{l}1(n=0)\\ 0(n\ne 0)\end{array}$$
2. 单位阶跃序列
   $$\epsilon (n)=\{\begin{array}{l}1(n⩾0)\\ 0(n<0)\end{array}$$
     其与单位脉冲序列的关系
   $$\begin{gathered} \delta (n)=\epsilon (n)-\epsilon (n-1) \\ \epsilon (n)=\sum _{k=0}^{\infty }\delta (n-k) \end{gathered}$$
     令n-k=m，代入上式
   $$\epsilon (n)=\sum _{m=-\infty }^n\delta (m)$$
3. 矩形序列
   $$f_N(n)=\{\begin{array}{l}1(0⩽n⩽N-1)\\ 0\text{其他}\end{array}$$
     用单位阶跃序列表示
   $$f_N(n)=\epsilon (n)-\epsilon (n-N)$$
4. 正弦序列
   $$f(n)=A\sin (\omega n)$$
     式中$\omega$为数字角频率，$\omega =\Omega T$，$T$为取样周期。由于采样频率$F_s=1/T$，所以
   $\omega =\Omega /F_s$
5. 指数序列
   $$f(n)=a^n\epsilon (n)$$
6. 复指数序列
   $$f(n)=e^{(\sigma +j{w}_0)n}$$
     当$\sigma =0$有
   $$f(n)=e^{j{w}_{0}n}=\cos (w_{0}n)+j\sin (w_{0}n)$$
     由于n取整数，则下面等式成立
   $$e^{j(w_0+2\pi M)n}=e^{j{w}_{0}n}$$
7. 周期序列
     周期为N的周期序列
   $$x(n)=x(n+N)-\infty ⩽n⩽\infty$$

4.2 卷积和

4.2.1 卷积和的定义

  离散信号$f(n)$可以表示为单位序列的线性组合，如
$$f(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k)\delta (n-k)$$
  那么对于离散信号$f_1(n)$和$f_2(n)$，二者的卷和定义为
$$f_1(n)\ast f_2(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}_1(k)f_2(n-k)$$
  对于因果信号则有
$$f_1(n)\ast f_2(n)=\sum _{k=0}^n{f}_1(k)f_2(n-k)$$

4.2.2 常见序列卷和表

五、Z变换

  如拉普拉斯变换，Z变换可以把差分方程变为代数方程，从而使离散系统的分析得以简化

5.1 Z变换的定义

  首先用冲激序列${\delta }_T(t)$对$f(t)$进行取样，则取样信号$f_s(t)$为
$$\begin{gathered} f_s(t)=f(t){\delta }_T(t)=f(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT) \\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\delta (t-nT) \end{gathered}$$
  得到离散信号之后取拉式变化为
$$F(s)=L[\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\delta (t-nT)]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)e^{-nsT}$$
  令$z=e^{sT}$，将$f(nT)$换为$f(n)$，且给定序列从$n=0$开始有
$$F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f(n)z^{-n}$$
  上式为单边Z变换，此时原函数为
$$f(n)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}F(z)z^{n-1}\mathrm{d}z$$
  这对变换关系简记为
$$f(n)⟷F(z)$$

5.2 常用序列Z变换

注：$\left(\begin{array}{c}n\\ m-1\end{array}\right)=\begin{array}{c}1\\ (m-1)!\end{array}n(n-1)\cdots (n-m+2),\omega =\Omega T$为数字角频率

5.3 Z变换的主要性质

六、离散傅里叶变换（DFT）

6.1 时域离散信号的傅里叶变换（DTFT）

6.1.1 序列傅里叶变换定义

  对离散序列$f(n)$，其双边Z变换对为
$$F(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)z^{-n}\text{\hspace{1em}(6 - 1)}$$
$$f(n)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}F(z)z^{n-1}\mathrm{d}z\text{\hspace{1em}(6 - 2)}$$
  令$z=e^{j\omega }$代入6-2式
$$F(e^{j\omega })=F(z){|}_{z=e^{j\omega }}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)e^{-j\omega }$$
  由s-z平面可知，Z是一个复变量，DTFT是Z变换在单位圆$|z|=1$上的特殊情况。$F(e^{j\omega })$称为序列$f(n)$的时域离散信号的傅里叶变换，它既是$\omega$的连续函数，又是以$2\pi$为周期的周期函数。
  对应的反变换定义为
$$f(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(e^{j\omega })e^{jn\omega }\mathrm{d}\omega$$
  对应关系简记为
$$\begin{gathered} F(e^{j\omega })=DTFT[f(n)] \\ f(n)=IDTFT[F(e^{j\omega })] \end{gathered}$$
  特别对于响应$h(n)$，则有频率特性
$$H(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h(n)e^{-j\omega }$$

6.1.2 基本序列傅里叶变换

6.1.3 序列傅里叶变换的主要性质

6.2 离散傅里叶变换的定义

  对于有限长序列可以采用离散傅里叶变换，DFT实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化。设$x(n)$是一个长度为$M$的有限长序列，则定义$x(n)$的$N$点的离散傅里叶变换为：
$$X(k)=DFT[x(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}k=0,1,\cdots ,N-1$$
  其逆变换为
$$x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}n=0,1,\cdots ,N-1$$
  式中$W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$，$N$称为DFT变换区间长度，$N⩾M$。
  比较傅里叶变换与Z变换，可以看出DFT是$X(n)$的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。是傅里叶变换$X(e^{j\omega })$在区间$[0,2\pi ]$上的N点等间隔采样。所以离散傅里叶变换的特点是频域是离散的

6.3 离散傅里叶变换的基本性质

6.3.1 DFT隐含周期性

6.3.2 线性性质

6.3.3 循环移位性质

1. 序列移位
2. 时域移位
3. 频域移位

6.3.4 循环卷积定理

1. 两个有限长序列的循环卷积
2. 循环卷积定理

6.3.5 共轭对称性

1. 复共轭序列的DFT
2. 有限长共轭对称序列和反对称序列
3. 共轭对称性

6.4 频率域采样

6.4.1 频率域采样定理

6.4.2 栅栏效应

6.4.3 截断效应

七、快速傅里叶变换（FFT）

7.1 时域抽取法

7.2 频域抽取法

7.3 减少运算量的措施