在三维空间中，一个物体或坐标系的旋转和平移可以通过一个4x4的变换矩阵来表示。这个矩阵通常被称为仿射变换矩阵或齐次变换矩阵。它结合了旋转矩阵和平移向量的功能，能够同时表示旋转和平移操作。
一个4x4的旋转平移矩阵通常具有以下形式：
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| R t | |
|
| 0 1 | |
其中：
R是一个3x3的旋转矩阵，表示物体在三维空间中的旋转。t是一个3x1的平移向量，表示物体在三维空间中的平移。0是一个1x3的零向量。- 右下角的
1是一个标量。
一个完整的旋转平移矩阵例子如下：
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| r11 r12 r13 tx | |
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| r21 r22 r23 ty | |
|
| r31 r32 r33 tz | |
|
| 0 0 0 1 | |
其中 r11 到 r33 是旋转矩阵的元素，tx, ty, tz 是平移向量的分量。
要将一个点或向量通过旋转平移矩阵进行变换，可以使用矩阵乘法。对于三维空间中的点 P = [x, y, z, 1]（注意，点需要扩展为齐次坐标形式，即增加一个额外的1作为第四分量），其变换后的位置 P' 可以通过以下方式计算：
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P' = T * P |
其中 T 是旋转平移矩阵，P' 是变换后的齐次坐标。变换后的点坐标 P' 可以通过丢弃其齐次坐标（即最后一个分量）来得到其在三维空间中的实际位置。
例如，如果有一个点 P = [1, 2, 3, 1] 和一个旋转平移矩阵 T，那么变换后的点 P' 可以通过以下计算得到：
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P' = T * [x, y, z, 1] |
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= [r11*x + r12*y + r13*z + tx, |
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r21*x + r22*y + r23*z + ty, |
|
r31*x + r32*y + r33*z + tz, |
|
0*x + 0*y + 0*z + 1] |
然后，P' 的前三个分量构成了变换后的点在三维空间中的位置。
请注意，在实际应用中，旋转矩阵 R 通常是通过欧拉角、四元数或其他旋转表示方法转换而来的，而平移向量 t 则直接表示了平移的距离和方向。
