图形学基础：二维三维刚体的移动、缩放和旋转矩阵

一、二维

1.1 缩放矩阵

x，y分别表示在x轴，y轴缩放的倍数

示例： 点(2,1)在x，y轴上分别缩放x倍，y倍

1.2 平移矩阵

x，y分表表示在x轴，y轴上移动的距离

示例：点（2,1）分别在x轴，y轴上平移x距离，y距离

1.3 旋转矩阵

示例：点(x,y) 绕原点逆时针旋转θ°

示例：
点 (2,0) 绕原点旋转90°

绕任一点旋转?
转为先平移到这个点, 再旋转即可。

1.4 变换顺序

先平移再旋转，得到的变换矩阵是：

示例：

(2,0) 先平移 (0,2) 再旋转90°应该为: (-2,2)

如果换成是先旋转再平移则是(0,4):

二、三维

2.1 缩放矩阵

x,y,z分别表示点在x,y,z轴缩放的倍数

示例:
点 (2,1,2) 在x,y,z轴上分别缩放x,y,z倍

2.2 平移矩阵

示例：
点(2,1,2) 在x,y,z轴上分别移动 x,y,z距离

2.3 旋转矩阵

θ 表示点绕过原点的 x, y, z 轴旋转θ°
注意：绕某轴旋转则眼睛看向某轴的负方向，逆时针为正，顺时针为负（和左右手坐标系没关系）。

参考: https://zhuanlan.zhihu.com/p/147282442

示例：

• 点(2,1,2) 绕过原点的y轴旋转90°，应为：(2, 1, -2)

• 点(1,2,2) 绕过原点的x轴旋转90°，应为：(1,-2,2)
  
• 点(2,2,1) 绕过原点的z轴旋转90°，应为(-2,2,1)
  

绕任一点旋转?
转为先平移到这个点, 再旋转即可。

2.4 变换顺序（同二维，不再赘述）

三、threejs中的矩阵变换 (Matrix3)

3.1 矩阵存储格式

如果将矩阵的元素存储为数组的话，我们人类易读的是行优先，但three.js采用的是列优先，它们区别如下：

不过，虽然three.js内部存储是列优先，但在传参时遵循的是行优先，看下面源码：

3.2 旋转方向的奇怪问题

three.js中使用矩阵旋转的时候有个奇怪的地方，如下：

• new THREE.Matrix3().makeRotation(Math.PI/2)：从0创建一个旋转矩阵，逆时针旋转90°；
• new THREE.Matrix3().rotate(Math.PI/2)：累加旋转, 顺时针旋转90°；

下面是例子：

<script type="module">
	import * as THREE from 'three';
	//makeRotation: 逆时针为正
	var m2 = new THREE.Matrix3().makeRotation(Math.PI/2);
	var ret2 = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m2);
	//输出: (2,0) makeRotation(90°): {"x":1.2246467991473532e-16,"y":2}
	console.log(`(2,0) makeRotation(90°): ${JSON.stringify(ret2)}`)	
	
	//rotate是累加: 顺时针为正
	var m = new THREE.Matrix3().rotate(Math.PI/2);
	var ret = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m);
	//输出: (2,0) rotate(90°): {"x":1.2246467991473532e-16,"y":-2}
	console.log(`(2,0) rotate(90°): ${JSON.stringify(ret)}`)
</script>

3.3 其他示例

<script type="module">
	import * as THREE from 'three';
	//先平移后逆时针旋转
	var m = new THREE.Matrix3().translate(0,2).rotate(-Math.PI/2);
	var ret = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m);
	//(2,0) 先平移(0,2)后逆时针旋转90°: {"x":-1.9999999999999998,"y":2}
	console.log(`(2,0) 先平移(0,2)后逆时针旋转90°: ${JSON.stringify(ret)}`)
	
	//先逆时针旋转后平移
	var m2 = new THREE.Matrix3().rotate(-Math.PI/2).translate(0,2);
	var ret2 = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m2);
	//(2,0) 先逆时针旋转90°后平移(0,2): {"x":1.2246467991473532e-16,"y":4}
	console.log(`(2,0) 先逆时针旋转90°后平移(0,2): ${JSON.stringify(ret2)}`)
</script>

四、c#中的矩阵 (Matrix3x2)

查看的c#矩阵源码地址：《Matrix3x2.Impl.cs》

4.1 矩阵存储格式

没有存储9个矩阵元素，而是6个，如：

内部存储是用了三个 Vector2 向量存储，参考源码：

4.2 奇怪的相乘顺序

一般认为的：

但实际上，c#是右乘，如：

//(2,0) 先逆时针旋转90°, 再平移 (0,2)
var m = Matrix3x2.CreateRotation(MathF.PI / 2) * Matrix3x2.CreateTranslation(0, 2);
//输出 (0,4)
Console.WriteLine(Vector2.Transform(new Vector2(2, 0), m));

但，，，好像结果是对的。。。这就牵扯到另外一个问题：

4.3 奇怪的矩阵转置

一般认为，平移矩阵是：

但c#构造后是：

参考源码：

一般认为，构造旋转矩阵是：

但c#构造后是：

参考源码：

但，恰好是 转置的矩阵 和 右乘 刚好和我们认为的（非转置矩阵 和 左乘）效果一致。