二维的旋转平移矩阵

在二维空间中，旋转和平移变换可以通过2x2的旋转矩阵和2x3的变换矩阵来表示。

二维旋转矩阵用于表示一个点或向量在二维平面上的旋转。对于绕原点逆时针旋转θ角的变换，其旋转矩阵为：

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如果有一个二维点P(x, y)，则旋转后的点P'(x', y')可以通过矩阵乘法得到：

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计算后得到：

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二维平移矩阵则用于表示一个点或向量在二维平面上的平移。平移矩阵是一个3x3的矩阵，它可以在旋转矩阵的基础上增加平移向量。平移矩阵的形式如下：

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其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。为了使用平移矩阵，我们通常将二维点P(x, y)扩展为齐次坐标形式P_h(x, y, 1)。然后，通过矩阵乘法应用平移矩阵：

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计算后得到：

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复合变换（即先进行旋转再进行平移）则需要将旋转矩阵和平移矩阵结合起来。这通常通过将旋转矩阵与平移矩阵相乘来实现，形成一个总的变换矩阵。注意，矩阵乘法不满足交换律，因此变换的顺序很重要。先旋转后平移的复合变换矩阵形式如下：

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然后，对于二维点P(x, y)，其经过旋转和平移后的新位置P'(x', y')可以通过以下方式计算：

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计算后得到变换后的坐标(x', y')。