插值(interpolation)
1. 单词“interpolation”的词源
在1610年代，其词义为“插值行为(act of interpolating)；” 在1670年代，其词义为“被插值的(that which is interpolated)，” 在17世纪由法语“interpolation”引入英语、或直接来自拉丁语“interpolationem”(主格形式为“interpolatio”)，过去分词词干“interpolare”的动作名词(词义为“改变、篡改(to alter; falsify)”)(见动词“interpolate”词源)。
在1610年，单词“interpolate”的词义为“通过插入新的材料来改变或扩大(写作作品)(to alter or enlarge (a writing) by inserting new material)，” 来自拉丁语“interpolātus”，是“interpolāre”的过去分词，词义为对著作的“更改、更新、润色(alter, freshen up, polish)”和“篡改(falsify)”，由“inter”(词义为“在……中，介于……之间(among, between)”) + “polare”(词义为“使平滑、使光滑(to smoothe, polish)”)构成。
“插入，在……之间引入”的含义据记载首次由Bentham在其作品中引入(约在1802年-1812年间)。牛津词典的解释为“To alter or enlarge (a book or writing)by insertion of new matter; esp. to tamper with by making insertions which create false impressions as to the date or character of the work in question”(通过插入新的内容来改变或扩展(一本书或著作)；尤指，通过插入额外材料以使人们对相关著作的日期或特征产生错误印象，以这样的方式对著作进行篡改)。
2. 单词“interpolation”引入数学作为术语
2.1 牛津词典对其用在数学中的解释
先看看牛津词典的解释：
The process of inserting in a series an intermediate number or quantity ascertained by calculation from those already known.
(在一个序列中插入一个通过已知量计算确定的中间数或量的过程。)
下面是牛津词典记录的关于“interpolation”被引用的年表：
1763 EMERSON Meth. Increments iv, The Differential Method of Mr. Sterling,which he applies to the summation and interpolation of series. (1763年，EMERSON Meth. Increments iv：Sterling先生将其微分法应用于级数的求和以及插值。)
1816 PLAYFAIR Nat. Phil. II. 85 The manner of finding an equation between the time and any quantity determined by observations,made at given intervals of time is called the Method of Interpolation. Ibid. 220 The most useful interpolations are,when the time is one of the unknown quantities[etc.]. (1816年，PLAYFAIR Nat. Phil. II. 85页：在给定时间间隔内进行的观察所确定的时间和任何量之间找到方程的方法称为插值法。同样出处的220页：最有用的插值是当时间是未知量之一时[等等]。)
1816 tr. Lacroix’s Diff.& Int.Calculus 551 One of the principal uses of the Calculus of Differential consists in the interpolation of Series.(1816年：tr. Lacroix的<<微分和积分>>551页：微分的主要用途之一在于级数的插值。)
1872 [见“extrapolation”](“外推法、推断”)。
1888 Encycl. Brit. XXIII 13/1 All tables of proportional parts may be regarded as interpolaton tables.( 1888年，不列颠百科全书XXIII 13/1：所有比例部分表均可视为插值表。)
1928 Monthly Notices R. Astron. Soc. LXXXVIII. 511 The interpolation formula known as Bessel’s but really discovered by (Issac) Newton.(1928年，每月通知 R. Astron. Soc. LXXXVIII. 511页：该插值公式被称为Bassel公式，但实际上是由(艾萨克)牛顿发现的。)
1968 Fox & MAYERS Computing Methods for Scientists & Engineer viii. 147 Moreover the ‘interpolation coefficients’...are available in tabular form,... and our interpolation process is reasonably straightforward.(1968年，Fox & MAYERS 科学家和工程师计算方法 147页：此外，“插值系数”......以表格形式提供......并且我们的插值过程相当简单。)
1970 O.DOPPING Computers & Data Processing xvi. 256 The computer calculates a first approximation to the desired address by interpolation between the known minimum and maximum values of the argument.(1970年，O.DOPPING 计算机与数据处理xvi. 256页：计算机通过在参数的已知最小值和最大值之间进行插值来计算所需地址的第一近似值。)
因此，插值的字面意思就是：通过利用已知量计算所得的量去对原有的对象进行改造，从而产生一个新的更好的对象。
2.2 对“插值”的理解
有人认为，是由John Wallis (1616.12.3-1703.10.28，英国数学家，对微积分的发展有很大贡献)将“interposition”引入数学中的。
(1) <<数学百科>>(Encyclopedia of Mathematics)(作者：James Tanton博士)对(线性)插值的定义和说明：
定义：估算两个已知值之间的函数值的过程称为(线性)插值(The process of estimating the value of a function between two values already known is called interpolation)。
说明：例如，如果一杯茶的温度最初为200°F(华氏度)，两分钟后为 180°F，则人们可能会基于温度随着时间的推移而稳步下降这个假设，猜测一分钟标记处的温度为190°F。 这代表了最简单的插值方法，称为线性插值：我们假设函数的变化可以描述为穿过已知值的直线。(For example, if the temperature of a cup of tea was initially 200°F, and two minutes later it was 180°F, one might guess that its temperature at the one minute mark was 190°F, based in the assumption that the temperature decreases steadily over time. This represents that simplest method of interpolation, called linear interpolation: we presuppose that the variation of the function can be described as a straight line passing through the known values.)
译注：以上只是线性插值的定义，事实上，插值可以有多种方法，取多个值进行估算。
(2) 用<<数字图像处理>>(Digital Image Processing,4th)(作者：Rafael C.Gonzalez)中的插值应用说明插值：
我们在缩放(zooming)、缩小(shrinking)、旋转(rotating)和几何校正数字图像时，要用到插值方法。要进行这些操作，基本上就是对图像进行重新采样。对于图像处理来说，插值(interpolation)是使用已知数据来估算未知位置处的值的过程。下面举例说明。
我们通过一个简短的例子开始讨论这个主题。假设尺寸为 500 * 500 像素的图像必须放大 1.5 倍到 750 * 750 像素。可视化缩放的一种简单方法是创建一个假想的 750 * 750 网格，其像素间距与原始图像相同，然后缩小它，使其恰好覆盖原始图像。显然，缩小后的750 * 750网格中的像素间距将小于原始图像中的像素间距。为了将强度值分配给叠加层中的任意点，我们在底层原始图像中查找最接近的像素，并将该像素的强度分配给 750 * 750 网格中的新像素。 当强度已分配给覆盖网格中的所有点时，我们将其扩展回指定大小以获得调整大小的图像。这种方法为最近领域插值(nearest neighbor interpolation),因为其以原图像中最近领域的强度值赋予每一个新的位置。
也就是说，我们需要对图像进行某些操作，并使得操作后的图像具有最小失真度而采用的计算方法，称为插值。插值方法是基于已有的量进特估算，用估算的值去构成新的图像，并且保持尽量小的失真度。采用的插值方法不同，导致的新图像的保真度也不同，有的方法会导致图像质量变差，有的方法导致新图像与原图像相关无几。
3. 总结
用图像处理的例子来说明插值的概念相对来说比较形象，容易理解。或许，将“interpolation”译为“插值”并不能很好地达意。
对其理解要基于3点思想：
1. 我们有某种新的需求，需要对原有对象进行处理；
2. 对数据的处理一定是基于原有的量进行的估算；
3. 用估算方法形成的新的量构成的对象，应原对象在表现效果上保持最小失真。
因此，我也可以说，在最小失真的原则下，基于旧的对象的构成量进行某种估计，并用估算后的量形成新的对象，这个过程便是插值。
