欧拉图及其应用

什么是欧拉图

提到欧拉图就要谈到哥尼斯堡七桥问题，最初有这样的一个问题的：18世纪中叶，东普鲁士哥尼斯堡城有一条贯穿全城的普雷格尔河，河中有两个岛，通过七座桥彼此相连，如下图所示

问题是这样的：有人从四块陆地中的任意一块出发，按什么样的路线能做到每座桥只通过一次而最后返回原地。
我们可以将整个问题抽象成下面的图进行解答：

如果我们将每个节点与其他边数查出来（即数出每个节点的度数）这样就有下面的列表：

对于一个结点来说，每出一次节点，代表与结点相连的某一条边已经走过了即结点度数减1，与其相连的结点的度数也减1，如果上述哥尼斯堡有解的话，就应该存在这样一条回路从某个地点出发最后回到某个地点。
每走过一条边会导致这条边的两个端点的度数减1，如下图所示：

也就是说如果能够不重复的走过所有的桥，最后各个结点的度数一定为0.即

如果七桥问题有解，由于最终是回到起点，所以走的路径一定是回路

假设在七桥问题中存在这样一条回路，先考虑回路除起点（终点）外的其他结点，那么进入某个结点之后应该能够出来，也就是每经过一个结点会造成结点的度数减2
也就是说非起点（终点）结点的度数一定得是偶数，才能经过不断的减2、减2最终变成0

起点（终点）在最初的时候出了一次，度数减去1，在最终的时候回了一次，度数减去1，这样就减去了2，

经过分析起点（终点）结点的度数一定得是偶数，才能经过不断的减2、减2最终变成0。
也就是说必须在所有结点的度数均为偶数的情况下，才能找到一条回路经过一次所有边且只经过一次。

欧拉在解决了哥尼斯堡七桥问题之后，提出并解决了一个更加一般性的问题：在什么样的图中能够找到通过图中每条边一次且仅一次的回路？
我们将能够在图中找到通过图中每条边一次且仅一次的通路（注意没有说回路）的图称为欧拉图。这样的通路叫做欧拉通路。具有欧拉通路的图叫欧拉图。

如何确定欧拉图

上边已经确定分析了具有欧拉回路的情况，因为是回路，所以其中所有的结点的度数都是偶数。
那么不是回路，但是通过所有的边一次且仅以此的通路，会让我们得出什么样的结论呢？
非起点或终点的结点，即路径中间的经过的结点，我们可以通过如下图的分析得到：

中间的结点仍然是减去2

也就是说在欧拉通路不是回路的情况下，只有两个结点的度数为奇数，其余结点的度数均为偶数。
结合欧拉通路是回路的情况也就是说，一个图要是欧拉图，要么所有结点的度数均为偶数，要么其中两个结点的度数为奇数，其余结点的度数为偶数，即奇度数结点的个数为0或2.注：奇度数结点为2的是半欧拉图。图必须是连通的，不连通一定不是欧拉图。

欧拉图的应用

欧拉图可以用来解决一笔画问题、蚂蚁比赛问题、计算机鼓轮设计、中国邮路问题，这些问题在以后有时间了在进行讨论。