【算法】数论---欧拉函数

什么是欧拉函数？

对于正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，记作φ(n)

φ(1)=1

当m,n互质时，φ(mn)=φ(m)∗φ(n)

一、求一个正整数的欧拉函数---（先对它分解质因数，然后套公式）

int x; cin>>x;
int ans=x;
        
map<int,int>h;
for(int i=2;i<=x/i;i++)
{
    while(x%i==0)
    {
        x/=i;
        h[i]++;
    }
}
if(x>1)h[x]++;
        
for(auto i:h)
{
    int j=i.first;  //因为j最大不超过2x10^9，所有j的数据类型用int就足够了
    ans=ans/j*(j-1);  //因为每个j都是ans的质因子，所有ans/j肯定可以整除的，并且因为ans/j*(j-1)的结果肯定会小于ans，所有ans的数据类型用int就足够了
}//这里必须得是ans/j*(j-1)这个顺序，防止爆int
        
cout<<ans<<endl;

二、求一个正整数的欧拉函数---线性筛法

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1000010;

int primes[N],idx=0;

bool st[N];int ou[N];

int main()
{
    int n; cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[idx++]=i;
            ou[i]=i-1;
        }

        for(int j=0;primes[j]*i<=n;j++)
        {
            st[primes[j]*i]=true;  //primes[j]*i将会遍历所有的和数，然后在这里将它们标记（筛掉），再在下面将它们的欧拉函数求出

            if(i%primes[j]==0)  //i%primes[j]==0说明primes[j]是i的最小质因数
            {
                ou[primes[j]*i]=ou[i]*primes[j];
                break;
            }
            else  //i%primes[j]!=0说明primes[j]是比i的最小质因数还要小的质数
            {
                ou[primes[j]*i]=ou[i]*primes[j]/primes[j]*(primes[j]-1);
            }
        }
    }

    ou[1]=1;

    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans+=ou[i];
    cout<<ans;

    return 0;
}