简化剩余系
与完全剩余系略有区别。
我们定义数组 a i ( 1 ≤ i ≤ n ) a_i(1\le i\le n) ai(1≤i≤n) 为模 m m m 的简化剩余系,当且仅当 ∀ 1 ≤ i , j ≤ n \forall 1\le i,j\le n ∀1≤i,j≤n,有 a i ≢ a j ( m o d m ) a_i\not\equiv a_j\pmod m ai≡aj(modm), ∀ 1 ≤ i ≤ n \forall 1\le i\le n ∀1≤i≤n,有 gcd ( m , a i ) = 1 \gcd(m,a_i)=1 gcd(m,ai)=1
- 若 a i ( 1 ≤ i ≤ n ) a_i(1\le i\le n) ai(1≤i≤n) 为模 m m m 的简化剩余系, gcd ( b , m ) = 1 \gcd(b,m)=1 gcd(b,m)=1,则 b ⋅ a i ( 1 ≤ i ≤ n ) b\cdot a_i(1\le i\le n) b⋅ai(1≤i≤n) 也为模 m m m 的简化剩余系。
简化剩余系的性质都在欧拉函数上了。。。
欧拉函数
定义欧拉函数 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 为小于等于 n n n 且与 n n n 互质的数的个数,即模 n n n 的简化剩余系的大小。
性质
- φ ( n ) = n ∏ p ∈ prime p ∣ n ( 1 − 1 p ) \varphi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{l}p\in\text{prime}\\p|n\end{subarray}}(1-\frac 1 p) φ(n)=np∈primep∣n∏(1−p1)
- 若 gcd ( n , m ) = 1 \gcd(n,m)=1 gcd(n,m)=1,则 φ ( n m ) = φ ( n ) φ ( m ) \varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m) φ(nm)=φ(n)φ(m),即 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 为积性函数
欧拉定理
若 gcd ( a , n ) = 1 \gcd(a,n)=1 gcd(a,n)=1,则 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n aφ(n)≡1(modn)
构造 b i ( 1 ≤ i ≤ φ ( n ) ) b_i(1\le i\le\varphi(n)) bi(1≤i≤φ(n)) 为模 n n n 的简化剩余系,则 c i = b i ⋅ a ( 1 ≤ i ≤ φ ( n ) ) c_i=b_i\cdot a(1\le i\le\varphi(n)) ci=bi⋅a(1≤i≤φ(n)) 也为模 n n n 的简化剩余系
则 ∏ i = 1 φ ( n ) c i ≡ ∏ i = 1 φ ( n ) b i ( m o d n ) \prod\limits^{\varphi(n)}_{i=1}c_i\equiv\prod\limits^{\varphi(n)}_{i=1}b_i\pmod n i=1∏φ(n)ci≡i=1∏φ(n)bi(modn)
即 ∏ i = 1 φ ( n ) b i ⋅ a ≡ ∏ i = 1 φ ( n ) b i ( m o d n ) \prod\limits^{\varphi(n)}_{i=1}b_i\cdot a\equiv\prod\limits^{\varphi(n)}_{i=1}b_i\pmod n i=1∏φ(n)bi⋅a≡i=1∏φ(n)bi(modn)
约去 ∏ i = 1 φ ( n ) b i \prod\limits^{\varphi(n)}_{i=1}b_i i=1∏φ(n)bi,得 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n aφ(n)≡1(modn),证毕。
扩展欧拉定理
由欧拉定理,得到扩展欧拉定理: a n ≡ a n mod φ ( n ) + φ ( n ) ( m o d n ) a^n\equiv a^{n\>\text{mod}\>\varphi(n)+\varphi(n)}\pmod n an≡anmodφ(n)+φ(n)(modn)