Sylow定理
∣ G ∣ = p r ⋅ m |G|=p^r\cdot m ∣G∣=pr⋅m, ( m , p ) = 1 (m,p)=1 (m,p)=1, 则 G G G中必有 p r p^r pr阶子群.
证明:
应用
例子: 15阶群必定是循环群.
因为 15 = 3 × 5 15=3\times 5 15=3×5, 所以15阶群有 3 3 3阶群或 5 5 5阶群, 设3阶群有 n 3 n_3 n3个, 5阶群有 n 5 n_5 n5个, 由Sylow定理:
- n 3 ≡ 1 ( m o d 3 ) n_3\equiv 1\pmod3 n3≡1(mod3), n 3 ∣ 15 n_3|15 n3∣15, ⇒ n 3 = 1 \Rightarrow n_3=1 ⇒n3=1.
- n 5 ≡ 1 ( m o d 5 ) n_5\equiv1\pmod5 n5≡1(mod5), n 5 ∣ 15 n_5|15 n5∣15, ⇒ n 5 = 1 \Rightarrow n_5=1 ⇒n5=1.
于是 G G G是15阶群, 必有唯一的3阶群 H 1 H_1 H1, 5阶群 H 2 H_2 H2, 并且
H 1 , H 2 ⊴ G H_1,H_2\unlhd G H1,H2⊴G, (由于Sylow-p群只有一个, 所以正规)
H 1 H 2 = G H_1H_2=G H1H2=G, (通过阶数得到).
H 1 ∩ H 2 = { e } H_1\cap H_2=\{e\} H1∩H2={ e}.( H 1 H_1 H1只有单位元以及3阶元, H 2 H_2 H2只有单位元以及5阶元, )
由以上三条, 得到 G ≅ H 1 × H 2 ≅ Z / 15 Z G\cong H_1\times H_2\cong \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} G≅H1×H2≅Z/15Z. (循环群必交换)
