数学基础 -- 导数伪装的极限之变量替换

变量替换的极限计算

变量替换在极限计算中是一种常用的技巧，主要是为了将复杂的函数转换为更简单或更熟悉的形式，以便更容易地计算极限。变量替换的背后逻辑是通过变换变量，使得极限表达式变得更容易处理。

1. 基本原理

变量替换的基本思路是将原变量 $x$ 替换为一个新变量 $u$，使得当 $x\to a$ 时，$u\to b$。替换后，通过新的变量 $u$ 来重新表达极限，从而简化计算。

2. 例子和解释

例子 1: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$

我们知道：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

这个结果可以通过变量替换来解释。设 $u=x$，当 $x\to 0$ 时， $u\to 0$。因此，我们可以将原表达式重写为：
$$\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}$$

由于我们知道 $\frac{\sin u}{u}$ 在 $u\to 0$ 时的极限为 1，因此原问题的极限也为 1。

例子 2: ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x$

为了计算这个极限，可以使用变量替换。设 $u=\frac{1}{x}$，当 $x\to \infty$ 时， $u\to 0$。因此，我们可以将原表达式重写为：
$$\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}}$$

我们知道，${\lim }_{u\to 0}(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=e$。所以原问题的极限为 $e$。

例子 3: ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$

我们可以使用泰勒展开来解释这个极限。考虑 $e^x$ 在 $x$ 附近的泰勒展开：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

因此，
$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

所以：
$$\frac{e^x-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots }{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots$$

当 $x\to 0$ 时，右边的所有高阶项都趋于 0，所以：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$$

总结

变量替换的目的是通过引入一个新的变量，将复杂的表达式转化为更简单或更熟悉的形式。通过这种方法，可以利用已知的极限结果或者更直观的计算方法，简化极限的求解过程。在具体应用中，需要根据具体问题选择适当的变量替换方式。