求解一元二次方程的根

通用表达式：ax^2 + bx + c = 0 （a != 0）

概念

一元：这个词表示方程中只有一个未知数，在通用表达式中唯一的未知数是 x ，其公式称为一元方程。

二次：这个词表示方程中未知数的最高次幂是二次，即 x^2，其公式称为二次方程

一元二次方程：指形如（ax^2 + bx + c = 0）的方程，其中 a为二次项系数，b为一次项系数，c是常数项。

一元二次方程的根：指使方程等式两边成立的未知数x的值。

一元二次方程求根公式

实数求根：

复数求根：-b/2a是实数部分，简称实部，另外部分称为虚数部分，简称虚部，复数 = 实部+虚部；

求解一元二次方程的根需要了解根的情况。

人们根据公式，找到方程规律，△ = b^2  - 4ac；该表达式称为判别式（discriminant）

当 △ > 0，一元二次方程存在两个不同的实根；

当 △ = 0，一元二次方程存在两个相同的实根（重（chong）根）；

当 △ < 0，一元二次方程不存在实根，而是存在两个共轭复根；

1. 重根：

   • 当一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的判别式 ( b^2 - 4ac = 0 ) 时，方程有一个重复的实根。这个根被称为“重根”或“单根”。
   • 例如，方程 ( (x - 2)^2 = 0 ) 的根是 ( x = 2 )，这个根的重数是2，因为方程可以看作是 ( (x - 2) ) 的平方。

2. 实根：

   • 实根是指使方程成立的实数值。如果判别式 ( b^2 - 4ac ) 大于零，方程会有两个不同的实根。如果判别式等于零，方程会有一个重根（也是实根）。
   • 实根是与复数相对的概念。例如，方程 ( x^2 - 5x + 6 = 0 ) 的根 ( x = 2 ) 和 ( x = 3 ) 都是实数，所以它们是实根。

3. 共轭复根：

   • 当方程的判别式 ( b^2 - 4ac ) 小于零时，方程没有实根，而有两个复根。这两个复根是复共轭对，即它们的虚部符号相反。
   • 例如，方程 ( x^2 + x + 1 = 0 ) 的判别式是 ( 1^2 - 4*1*1 = - 3 )，小于零，因此有两个复根。具体解是 ( x1 = （-1/2 + i * (√3 / 2))），（x2 = (-1/2 - i * (√3 / 2) )）。这两个根是复共轭对。

c++求解一元二次方程根

discriminant.cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {

    double a, b, c, x1, x2, discriminant, realPart, imaginaryPart;

    while (true) {
    cout << "请输入一元二次方程的系数:a, b 和 c: ";
    if (!(cin >> a >> b >> c)) {
        cin.clear();
        cin.ignore(numeric_limits<streamsize>::max(),'\n');
        cout << "输入无效，请确保输入的是三个实数" << endl;
        continue;
    }
    if (a == 0) {
        cout << "二次项系数a不能为零" << endl;
        cin.clear();
        cin.ignore(numeric_limits<streamsize>::max(),'\n');
        continue;
    }

    break;

    }
    discriminant = b*b - 4*a*c;

    if (discriminant > 0) {
        x1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2*a);
        x2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2*a);
        cout << "\n判别式大于零，存在两个不相同的实数" << endl;
        cout << "x1 = " << x1 << endl;
        cout << "x2 = " << x2 << endl;
    }

    else if (discriminant == 0) {
        cout << "\n判别式等于零，存在两个相同的实数" << endl;
        x1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2*a);
        cout << "x1 = x2 =" << x1 << endl;
    }

    else {
        realPart = -b/(2*a);
        imaginaryPart =sqrt(-discriminant)/(2*a);
        cout << "\n判别式小于零，实数不存在，存在两个共轭复数"  << endl;
        cout << "x1 = " << realPart << "+" << imaginaryPart << "i" << endl;
        cout << "x2 = " << realPart << "-" << imaginaryPart << "i" << endl;
    }

    return 0;
}

运行效果

额外收获

什么是实数、复数？

复数和实数是数学中两个重要的数系，它们之间有几个关键的区别：

实数

1. 定义：

   • 实数是所有可以在数轴上表示的数，包括正数、负数、零、整数、分数和无理数（如 (\sqrt{2})）。

2. 形式：

   • 实数的标准形式就是通常我们所见的普通数字，如 (1)、(-2)、(0.5) 等。

3. 表示：

   • 实数可以用单一的数值表示，没有虚部。例如，实数 ( x ) 可以写成 ( x + 0i )，其中虚部为零。

4. 运算：

   • 实数可以进行加法、减法、乘法、除法等基本运算，其结果仍然是实数。

复数

1. 定义：

   • 复数是由实数和虚数组成的数。形式上，复数可以表示为 ( a + bi )，其中 ( a ) 和 ( b ) 都是实数，( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。

2. 形式：

   • 复数包括两个部分：实部 ( a ) 和虚部 ( b )。例如，复数 ( 3 + 4i ) 的实部是 3，虚部是 4。

3. 表示：

   • 复数的标准形式为 ( a + bi )，其中 ( a ) 是实部，( b ) 是虚部。如果 ( b = 0 )，复数就是实数；如果 ( a = 0 )，复数就是纯虚数。

4. 运算：

   • 复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数类似，但涉及到虚部的运算。例如，复数乘法要用到分配律和虚数单位的性质。

关键区别

1. 虚部：

   • 实数：虚部为零。
   • 复数：虚部可以是非零的实数。

2. 数轴与复平面：

   • 实数：可以在一维的数轴上表示。
   • 复数：需要在二维的复平面上表示，实部在横轴上，虚部在纵轴上。

3. 解方程：

   • 实数：有时不能解决所有方程，例如方程 ( x^2 + 1 = 0 ) 在实数范围内没有解。
   • 复数：可以解决所有二次方程，例如 ( x^2 + 1 = 0 ) 在复数范围内的解是 ( i ) 和 ( -i )。

4. 集合：

   • 实数：是复数的一个子集，所有实数都是复数，但并不是所有复数都是实数。

复数包含了实数，在实数的基础上扩展了虚数部分。

小结

一元二次方程的图像直观求根

找规律，解决问题，编写的程序通过求判别式 △ = b^2  - 4ac的值是否等于和小于或大于零结合求根公式得到一元二次方程的根，其中使用了头文件cmatch的数学函数sqrt()，该函数接受一个参数，用来计算参数的平方根；另需要注意二次项系数不可以为零，换位思考，二次项系数a==0，那么一元二次方程还能叫一元二次方程吗？当a=0，就成了一元一次方程。a、b等于0，就剩下常数了┗|｀O′|┛ 嗷~~。