本文涉及知识点
动态规划汇总 状态机动态规划
LeetCode3130. 找出所有稳定的二进制数组 II
给你 3 个正整数 zero ,one 和 limit 。
一个 二进制数组 arr 如果满足以下条件,那么我们称它是 稳定的 :
0 在 arr 中出现次数 恰好 为 zero 。
1 在 arr 中出现次数 恰好 为 one 。
arr 中每个长度超过 limit 的 子数组 都 同时 包含 0 和 1 。
请你返回 稳定 二进制数组的 总 数目。
由于答案可能很大,将它对 109 + 7 取余 后返回。
示例 1:
输入:zero = 1, one = 1, limit = 2
输出:2
解释:
两个稳定的二进制数组为 [1,0] 和 [0,1] ,两个数组都有一个 0 和一个 1 ,且没有子数组长度大于 2 。
示例 2:
输入:zero = 1, one = 2, limit = 1
输出:1
解释:
唯一稳定的二进制数组是 [1,0,1] 。
二进制数组 [1,1,0] 和 [0,1,1] 都有长度为 2 且元素全都相同的子数组,所以它们不稳定。
示例 3:
输入:zero = 3, one = 3, limit = 2
输出:14
解释:
所有稳定的二进制数组包括 [0,0,1,0,1,1] ,[0,0,1,1,0,1] ,[0,1,0,0,1,1] ,[0,1,0,1,0,1] ,[0,1,0,1,1,0] ,[0,1,1,0,0,1] ,[0,1,1,0,1,0] ,[1,0,0,1,0,1] ,[1,0,0,1,1,0] ,[1,0,1,0,0,1] ,[1,0,1,0,1,0] ,[1,0,1,1,0,0] ,[1,1,0,0,1,0] 和 [1,1,0,1,0,0] 。
3129要求:
1 <= zero, one, limit <= 200
3130要求:
1 <= zero, one, limit <= 1000
动态规划
动态规划的状态表示
dp0[i][j][k] 记录长度为i+1的arr,以j个0结尾,且0的总数量为k的方案数。
dp1[i][j][k] 记录长度为i+1的arr,以j个1结尾,且0的总数量为k的方案数。
利用滚动向量,空间复杂度:O(limit × \times × zero)
动态规划的转移方程
枚举每种前置状态,枚举当前元素为1或0。
时间复杂度:O(limit × \times × zero × \times × (zero+one))
动态规划的初始值
pre0[0][0] =1 其它pre0为0
pre1为0。
动态规划的填表顺序
for i = 0 To zero+one-1
动态规格的返回值
sum(pre0) + sum(pre1)
代码
此方法 在超时和超内存的边缘,需要优化代码。
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this /= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int numberOfStableArrays(int zero, int one, int limit) {
vector<vector<C1097Int<>>> pre0(limit+1,vector<C1097Int<>>(zero +1));
auto pre1 = pre0, dp0 = pre0, dp1 = pre0;
pre0[0][0] = 1;
for (int i = 0; i < zero + one; i++) {
dp0.assign(limit + 1, vector<C1097Int<>>(zero + 1));
dp1.assign(limit + 1, vector<C1097Int<>>(zero + 1));
C1097Int<> biSum;
for (int k = 0; k < zero; k++) {
for (int j = 0; j < limit; j++) {//00
dp0[j + 1][k + 1] += pre0[j][k];
}
}
for (int k = max(0,i-one); k < zero; k++) {
for (int j = 0; j <= limit; j++) {//10
dp0[1][k + 1] += pre1[j][k];
}
}
for (int k = max(0, i + 1- one); k <= zero; k++) {
for (int j = 0; j < limit; j++) {//...11
dp1[j + 1][k] += pre1[j][k];
}
for (int j = 0; j <= limit; j++) {//...01
dp1[1][k] += pre0[j][k];
}
}
pre0.swap(dp0);
pre1.swap(dp1);
}
C1097Int<> biRet;
for (int j = 0; j <= limit; j++) {
for (int k = 0; k <= zero; k++) {
biRet += pre0[j][k] + pre1[j][k];
}
}
return biRet.ToInt();
}
};
单元测试
template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
Assert::AreEqual(t1, t2);
}
template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
}
}
template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
sort(vv1.begin(), vv1.end());
sort(vv2.begin(), vv2.end());
Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
{
AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
}
}
namespace UnitTest
{
int zero, one, limit;
TEST_CLASS(UnitTest)
{
public:
TEST_METHOD(TestMethod0)
{
zero = 1, one = 1, limit = 2;
auto res = Solution().numberOfStableArrays(zero, one, limit);
AssertEx(2, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod2)
{
zero = 1, one = 2, limit = 1;
auto res = Solution().numberOfStableArrays(zero, one, limit);
AssertEx(1, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod3)
{
zero = 3, one = 3, limit = 2;
auto res = Solution().numberOfStableArrays(zero, one, limit);
AssertEx(14, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod4)
{
zero = 200, one = 200, limit = 200;
auto res = Solution().numberOfStableArrays(zero, one, limit);
AssertEx(587893473, res);
}
};
}
优化后的状态机动态规划
动态规格的状态
dp0[i][j] 表示以0结尾,长度为i,0的数量为j 的方案数(连续0或1不超过limit个)。
dp1 表示以1结尾的合法方案数。
空间复杂度:O((zero+one)zeor)
动态规划的转移方程
枚举每种状态,看能否追加0或1。转移方程的时间复杂度:O(1),故时间复杂度等于空间复杂度。
如何扣除 dp1[i+1][j] 新增加的超过limit限制?
arr[0…i-1]没超限, arr[0…i]超限,说明:arr最后limit+1 全部是1,且前面的字符不是1,是0。即扣掉:
dp0[i - limit ][j];
limit+1个零类似。
动态规程的初始状态
dp0[0][0] = dp1[0][0]= 1;
dp0[1][1] = dp1[1][0] = 1;
动态规划的填表顺序
for (int i = 1; i < zero + one; i++)
动态规划的返回值
sum(dp0.back()) + sum(dp1.back())
代码
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this /= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int numberOfStableArrays(int zero, int one, int limit) {
vector<vector<C1097Int<>>> dp0(zero+one +1,vector<C1097Int<>>(zero +1));
auto dp1 = dp0;
dp0[0][0] = dp1[0][0]= 1;
dp0[1][1] = dp1[1][0] = 1;
for (int i = 1; i < zero + one; i++) {
for (int j = 0; j < zero; j++) {//追加0
dp0[i + 1][j + 1] += dp0[i][j];//...00
if ((i - limit >= 0)&&(j - limit>=0)){//扣掉末尾limit+1个0
dp0[i + 1][j + 1] -= dp1[i - limit ][j-limit];
}
dp0[i + 1][j + 1] += dp1[i][j];//...10
}
for (int j = max(0,i+1-one); j <= zero; j++) {//追加1
dp1[i + 1][j ] += dp1[i][j];//...11
if (i - limit >= 0) {//扣掉末尾limit+1个1
dp1[i + 1][j] -= dp0[i - limit ][j];
}
dp1[i + 1][j ] += dp0[i][j];//...01
}
}
C1097Int<> biRet;
for (int k = 0; k <= zero; k++) {
biRet += dp0.back()[k] + dp1.back()[k];
}
return biRet.ToInt();
}
};
扩展阅读
视频课程
先学简单的课程,请移步CSDN学院,听白银讲师(也就是鄙人)的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了,为老板分忧,请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
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测试环境
操作系统:win7 开发环境: VS2019 C++17
或者 操作系统:win10 开发环境: VS2022 C++17
如无特殊说明,本算法用**C++**实现。