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引言：以下将介绍十种模型，更多的是需要大概了解模型，方便后面更好的应用
时间序列的平稳性
弱平稳
注：在时间序列中提到的平稳没有特殊说明默认为弱平稳。
转化为平稳，进行差分
白噪声序列
序列图
参考：8.1 Stationarity and differencing | Forecasting: Principles and Practice (2nd ed) (otexts.com)
Obvious seasonality rules out series (d), (h) and (i). Trends and changing levels rules out series (a), (c), (e), (f) and (i). Increasing variance also rules out (i). That leaves only (b) and (g) as stationary series.
可以看出b图和g图是平稳的，因为从图像上看，满足上面三个条件
差分方程
滞后项、时间和其他变量
滞后算子
AR(p)模型
概念
p阶自回归模型
自回归——将自己的滞后项视为自变量进行回归
自回归只能适用于预测与自身前期相关的经济现象，即受自身历史因素影响较大的经济现象，如矿的开采量，各种自然资源产量等。对于受社会因素影响较大的经济现象，不宜采用自回归，而应使用可纳入其他变量的向量自回归模型（多元时间序列）。
注意： 我们讨论的AR(p) 模型一定是平稳的时间序列模型，如果原数据不平稳也要先转换为平稳的数据才能再进行建模。
平稳
例子
提一个东西，虚根是共轭的
单位根与平稳上面说的比较清楚了
MA(q)模型
这个模型公式将白噪声作为参数
此模型的过程一定是平稳的、
只要 q 是常数，那么 MA(q) 模型一定是平稳的
MA与AR的关系
从上面的计算步骤可以看出：我们可以将 1 阶移动平均模型转换为无穷阶的自回归模型，这一性质称为移动平均模型的 可逆性 ；类似的，我们在某些条件下（可逆性条件）也可以将 MA(q) 模型也转换为无穷阶的自回归过程。一般地，任何经济变量的时间序列都可以自回归过程来描述。但在模型分析的实践中，为简化估计参数的工作量，我们当然希望模型当中的参数尽可能地少。于是便有了引进移动平均过程 MA(q) 的必要
MA(1) --> AR(无穷)
ARMA(p,q) 自回归移动平均模型
自回归移动平均模型 (Autoregressive Moving Average,ARMA) ，就是设法将自回归过程AR和移动平均过程MA 结合起来，共同模拟产生既有时间序列样本数据的那个随机过程的模型
平稳性
平稳性只与AR(p)有关
一般，可以通过时间序列图来看是否平稳
有相应的检验方法 stata软件 ADF检验 KPSS检验 PP检验
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ACF自相关系数
用于确定p,q
相关系数-皮尔逊相关系数
自相关系数
假设探讨的时间序列是平稳的
自相关函数、自相关图
注意： ACF 和接下来要介绍的 PACF 使用的前提是数据为平稳序列
PACF偏自相关函数
时间序列是一个连续的过程
x1-->x2-->x3 x1 and x3 本身有一个x2在中间，偏自相关系数就是用来衡量x1与x3在剔除所有中间取值的线性关系，也就是 x1 --PACF--> x3
计算自相关系数acf和偏相关系数pacf - racoon_man - 博客园 (cnblogs.com)
自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是时间序列分析中非常重要的两个概念，用于确定数据中的时间依赖性以及为模型识别提供关键信息。
自相关函数（ACF）描述的是时间序列与其自身滞后的相关性。例如，在测量某地温度的时间序列时，ACF可以显示今天的温度与昨天、前天等的温度之间的相关性。数学上，ACF是由不同时间滞后的协方差与总体方差的比值计算而得。
偏自相关函数（PACF）则提供了在排除中间变量影响后，两个特定时间滞后之间的直接相关性。相比ACF，PACF能够更明确地识别出时间序列中的自回归性成分
AR(1)模型图
定义系数符号相反
不难发现，acf逐渐衰减，即拖尾 ，pacf在一阶后截尾
MA(1)与AR(2)图
MA：acf一阶后截尾，pacf拖尾
AR2：acf拖尾，pacf二阶后截尾
ARMA(1,1)图
图显示ARMA的acf和pacf都拖尾
ARMA模型的识别
注：根据前面的介绍，我们不难判断出上面的两个图，but时间序列是多变的，在实际中要通过图来判断阶数是比较困难的 。
ARMA模型的估计
采用极大似然估计法，使用软件可以实现
模型选择：AIC和BIC准则
选小原则
过拟合问题：加入的参数个数越多，模型拟合的效果越好，但这却是以提高模型复杂度为代价的。因此，模型选择要在模型复杂度与模型对数据的解释能力之间寻求最佳平衡。
模型的复杂度与模型的解释能力
参数个数--复杂程度
检验模型是否识别完全
看残差是不是白噪声
利用Q检验 还是看p值，大于0.05即可认为识别完全
ARIMA(p,d,q)模型
I表示差分的次数
差分自回归移动平均模型
ARIMA(1,1,1)与ARIMA(1,2,1)
SARIMA
季节性的ARIMA模型
