计算机的错误计算（二十九）

2024-07-13 07:20:05
开发
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摘要（1）讨论近似值的错误数字个数。有时，遇到数字'9'或'0', 不太好确认近似值的错误数字个数。（2）并进一步解释确认计算机的错误计算（二十八）中一个函数值的错误数字个数。

理论上，我们有

$1\\=1.\dot{0}\\=1.000...\\=0.\dot{9}\\=0.999...$

等。利用这些等式，本节讨论一些特殊情形下的错误数字个数。

例1. 已知数值 1 有下列几个四舍五入后的 16位的近似值。请问，它们分别有几位错误数字？

$a_1=1.\underbrace{000000000000000}_{\textup{15 '0'}}\,,\\ a_2=1.\underbrace{000000000000}_{\textup{12 '0'}}245\,,\\ a_3=1.\underbrace{000000000000}_{\textup{12 '0'}}645\,,\\ a_4=0.\underbrace{9999999999999999}_{\textup{16 '9'}}\,,\\ a_5=0.\underbrace{9999999999999}_{\textup{13 '9'}}245\,,\\ a_6=0.\underbrace{9999999999999}_{\textup{13 '9'}}645\,.$

首先， $a_1, a_2$ 的错误数字个数分别是0、3.

其次，对于 $a_3$ ，若取 13位有效数字，则数字‘6’会产生进位，从而其有 1位错误数字，因此， $a_3$ 的错误数字个数应该是4. 同样道理， $a_5$ 的错误数字个数也是4，也是因为只有低到取 12位有效数字时，才没有错误数字。

再者，对于 $a_4$ ，它有几位错误数字？16位？0位？都不对？反一下，它有几位正确数字？16位正确数字！那么错误数字个数就是 16-16=0？即完全正确？显然也不太合理。那么错误数字是多少才合理呢？就定 1位吧！因为不可能是 2位，0位也不完全合理。

最后是 $a_6$ . 若取 13位有效数字，则 $a_6$ 的错误数字个数为 0. 所以其错误数字个数是3.

总结一句：6个近似值的错误数字个数依次为 0、3、4、1、4、3.

例2. 已知 $\tilde{y}$ 是 $y$ 8位的近似值：

$y=\underbrace{3.4366\textcolor{red}{597}}_{\textup{8 digits}}61...\,,\\ \tilde{y}=\underbrace{3.4366\textcolor{red}{601}}_{\textup{8 digits}}\,.$

请问， $\tilde{y}$ 中有几位错误数字？

它们中有 3对不同数字。那么 $\tilde{y}$ 中有 3位错误数字吗？不是的。错误位数是 1位。因为若只考虑 7位有效数字的值，它们是完全相同的。

这也就是计算机的错误计算（二十八）中 exp(1.2345) 在单精度下的输出具有 1位错误数字的原因。

各位看官，您觉得以上分析如何？

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