[Algorithm][动态规划][01背包问题][目标和][最后一块石头的重量Ⅱ]详细讲解

1.目标和

1.题目链接

• 目标和

2.算法原理详解

• 问题转化：在数组中选择一些数，让这些数的和等于a，一共有多少种选法？–> 01背包
  

• 思路：

  • 确定状态表示 -> dp[i][j]的含义

    • dp[i]j]：从前i个数中**选**，总和正好等于j，一共有多少种选法

  • 推导状态转移方程：根据最后一个位置的情况，分情况讨论

    • dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i]]
      

  • 初始化：

    • 多开一行及一列虚拟结点
    • 第一列除[0, 0]，其余无需初始化
      • 这里第一列不会越界访问，可以交给DP阶段处理
      • 因为只有dp[i - 1][j - nums[i]]可能越界访问
        • 但是在判定后，只有j == nums[i] == 0的情况，才会进入第一列，此时又不会越界
        • 如果不符合条件，就不会进来，也不会触发越界访问
          

  • 确定填表顺序：从上往下

  • 确定返回值：dp[n][a]

• 滚动数字优化同[模板] 背包

3.代码实现

// v1.0
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) 
{
    // 问题转换
    int sum = 0;
    for(auto& x : nums)
    {
        sum += x;
    }
    int aim = (sum + target) / 2;

    // 边界处理
    if(aim < 0 || (sum + target) % 2) return 0;

    int n = nums.size();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(aim + 1));

    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= aim; j++) // 第一列没有初始化，也在DP阶段处理
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= nums[i - 1])
            {
                dp[i][j] += dp[i - 1][j  - nums[i - 1]];
            }
        }
    }

    return dp[n][aim];
}
-----------------------------------------------------------------------
// v2.0 滚动数组优化
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) 
{
    // 问题转换
    int sum = 0;
    for(auto& x : nums)
    {
        sum += x;
    }
    int aim = (sum + target) / 2;

    // 边界处理
    if(aim < 0 || (sum + target) % 2) return 0;

    int n = nums.size();
    vector<int> dp(aim + 1);

    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = aim; j >= nums[i - 1]; j--)
        {
            dp[j] += dp[j  - nums[i - 1]];
        }
    }

    return dp[aim];
}

2.最后一块石头的重量 II

1.题目链接

• 最后一块石头的重量 II

2.算法原理详解

• 问题转化：在数组中选择一些数，让这些数的和尽可能接近sum / 2

  • 问题转化成了目标和–> 01背包
    

• 思路：

  • 确定状态表示 -> dp[i][j]的含义

    • dp[i]j]：从前i个数中**选**，总和不超过j，此时的最大和

  • 推导状态转移方程：根据最后一个位置的情况，分情况讨论

    • dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i])
      

  • 初始化：

    • 多开一行及一列虚拟结点
    • 第一列除[0, 0]，其余无需初始化
      • 这里第一列不会越界访问，可以交给DP阶段处理
      • 因为只有dp[i - 1][j - stones[i - 1]]可能越界访问
        • 但是在判定后，只有j == stones[i - 1] == 0的情况，才会进入第一列，此时又不会越界
        • 如果不符合条件，就不会进来，也不会触发越界访问
          

  • 确定填表顺序：从上往下

  • 确定返回值：sum - 2 * dp[n][sum / 2]

• 滚动数字优化同[模板] 背包

3.代码实现

// v1.0
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) 
{
    int sum = 0;
    for(auto& x : stones)
    {
        sum += x;
    }

    int n = stones.size(), m = sum / 2;
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= m; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= stones[i - 1])
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);
            }
        }
    }

    return sum - 2 * dp[n][m];
}
-----------------------------------------------------------------------
// v2.0 滚动数组优化
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) 
{
    int sum = 0;
    for(auto& x : stones)
    {
        sum += x;
    }

    int n = stones.size(), m = sum / 2;
    vector<int> dp(m + 1);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = m; j >= stones[i - 1]; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);
        }
    }

    return sum - 2 * dp[m];
}