高等代数复习：特征值

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

特征值

特征值的引入

定义：相似
若 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵且存在 $n$ 阶非异阵 $P$，使得$$B=P^{-1}AP$$则称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A\approx B$

命题
相似关系是等价关系（满足自反性，对称性，传递性）

由不变子空间的相关结论，我们知道
定理
设线性空间 $V$ 可分解为
$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_m$$

其中每个 $V_i$ 都是线性变换 $\phi$ 的不变子空间，则 $\phi$ 可以表示为分块对角阵

证明思路
只需证 $m=2$ 的情形，设 $V_1$ 的一组基 { e 1 , e 2 , … , e r } \{e_1,e_2,\dots,e_r\} {e1​,e2​,…,er​}，将其扩充为 $V$ 的一组基 { e 1 , e 2 , … , e r , e r + 1 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_r,e_{r+1},\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,er​,er+1​,…,en​}，则 { e r + 1 , … , e n } \{e_{r+1},\dots,e_n\} {er+1​,…,en​} 是 $V_2$ 的一组基

由于 $\phi (V_1)\subset V_1,\phi (V_2)\subset V_2$，则设
$$\{\begin{array}{l}\phi (e_1)=a_{11}{e}_1+a_{12}{e}_2+\cdots +a_{1r}{e}_r\\ \phi (e_2)=a_{21}{e}_1+a_{22}{e}_2+\cdots +a_{2r}{e}_r\\ \cdots \cdots \\ \phi (e_r)=a_{r1}{e}_1+a_{r2}{e}_2+\cdots +a_{rr}{e}_r\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\phi (e_{r+1})=a_{r+1,r+1}{e}_{r+1}+\cdots +a_{r+1,n}{e}_n\\ \phi (e_{r+2})=a_{r+2,r+1}{e}_{r+1}+\cdots +a_{r+2,n}{e}_n\\ \cdots \cdots \\ \phi (e_n)=a_{n,r+1}{e}_{r+1}+\cdots +a_{nn}{e}_n\end{array}$$

即在 $\phi (e_1),\dots ,\phi (e_r)$ 的表达式中 $e_{r+1},\dots ,e_n$ 前的系数均为零，
在 $\phi (e_{r+1}),\dots ,\phi (e_n)$ 的表达式中 $e_1,\dots ,e_r$ 前的系数均为零，

则 $\phi$ 在基 { e 1 , e 2 , … , e r , e r + 1 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_r,e_{r+1},\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,er​,er+1​,…,en​} 下的表示矩阵形如
$$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{r1}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1r}& \cdots & a_{rr}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& a_{r+1,r+1}& \cdots & a_{n,r+1}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{r+1,n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

即为分块对角阵 $■$

若 $V_i$ 是一维子空间，则 $\phi$ 在 $V_i$ 上的作用相当于一个数乘，即存在 ${\lambda }_0\in \mathbb{K}$，使得$$\phi (x)={\lambda }_{0}x$$

若所有 $V_i$ 都是一维子空间，则 $\phi$ 的表示矩阵可写为对角阵

考虑如下问题：给定线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$，能否找到 $V$ 的一组基，使线性变换 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为对角阵；

由于一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，故上面的问题即可理解为找到所有相似于对角阵的矩阵

特征值、特征向量、特征多项式

定义：线性变换的特征值、特征向量
设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 ${\lambda }_0\in \mathbb{K},x\in V$ 且 $x\ne 0$，使
$$\phi (x)={\lambda }_{0}x$$

则称 ${\lambda }_0$ 是线性变换 $\phi$ 的一个特征值，向量 $x$ 称为 $\phi$ 关于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量

定义：特征子空间
$\phi$ 关于特征值 ${\lambda }_0$ 的全体特征向量和零向量构成一个 $V$ 的子空间，记为 $V_{{\lambda }_0}$，称为 $\phi$ 的关于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间，显然 $V_{{\lambda }_0}$ 是 $\phi$ 的不变子空间

设 $\phi$ 在某组基下的表示矩阵为 $A$，向量 $x$ 在这组基下可表示为一个列向量 $\alpha$，此时 $\phi (x)={\lambda }_{0}x$，等价于 $$A\alpha ={\lambda }_0\alpha$$

或 $$({\lambda }_0{I}_n-A)\alpha =0$$

定义：矩阵的特征值
设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵，若存在 ${\lambda }_0\in \mathbb{K}$ 及 $n$ 维非零列向量 $\alpha$，使得
$$A\alpha ={\lambda }_0\alpha$$

则称 ${\lambda }_0$ 为矩阵 $A$ 的一个特征值，$\alpha$ 为 $A$ 关于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量。齐次方程组 $({\lambda }_{0}I-A)x=0$ 的解空间 $V_{{\lambda }_0}$ 称为 $A$ 关于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间

定义：特征多项式
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，称 $|\lambda I_n-A|$ 为 $A$ 的特征多项式

注：

1. 矩阵 $A$ 的特征值即为它特征多项式的根
2. 称 $|\lambda I_n-A|$ 为线性变换 $\phi$ 的特征多项式，记为 $|\lambda I-\phi |$

定理
若 $B$ 与 $A$ 相似，则 $B$ 与 $A$ 具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值（计重数）

证明思路
$$|\lambda I_n-B|=|P^{-1}(\lambda I_n-A)P|=|P^{-1}||\lambda I_n-A||P|=|\lambda I_n-A|$$

命题
任意复方阵相似于一个上三角阵

注：上三角阵的特征值即为对角线上的元素

证明思路：（数学归纳法）
设 $A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1$，将 ${\alpha }_1$ 作为 ${\mathbb{C}}_n$ 的基向量，扩展为一组基 { α 1 , … , α n } \{\alpha_1,\dots,\alpha_n\} {α1​,…,αn​}，拼成矩阵 P = { α 1 , … , α n } P=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\} P={α1​,…,αn​}，则 $P$ 为非异阵，且
$$AP=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right)$$

注意到上式即为 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right)$，由于 $A_1$ 是 $n-1$ 阶方阵，由归纳法可得

特殊矩阵的特征值

命题：矩阵多项式的特征值
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全部特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，$f(x)$ 是一个多项式，则 $f(A)$ 的全部特征值为 $f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\dots ,f({\lambda }_n)$

证明
由于任意 $n$ 阶矩阵均复相似于上三角矩阵，故设
$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

结合上三角矩阵的四则运算性质，可得
$$P^{-1}f(A)P=f(P^{-1}AP)=\left(\begin{array}{cccc}f({\lambda }_1)& \ast & \cdots & \ast \\ 0& f({\lambda }_2)& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & f({\lambda }_n)\end{array}\right)$$

则观察出 $f(A)$ 的特征值为 $f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\dots ,f({\lambda }_n)$

命题：逆矩阵的特征值
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，且 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，则 $A^{-1}$ 的全部特征值为 ${\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\dots ,{\lambda }_n^{-1}$

证明：（思路同上）
由于任意 $n$ 阶矩阵均复相似于上三角矩阵，故设
$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

则有
$$A=P\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)P^{-1}$$

则
$$A^{-1}=P\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^{-1}& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2^{-1}& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^{-1}\end{array}\right)P^{-1}$$

则观察出 $A^{-1}$ 的特征值为 ${\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\dots ,{\lambda }_n^{-1}$

命题：循环矩阵的特征值
设循环矩阵
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_n& a_1& \cdots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_2& a_3& a_4& \cdots & a_1\end{array}\right)$$

设 $J=\left(\begin{array}{cc}O& I_{n-1}\\ 1& O\end{array}\right)$，$f(x)=a_1+a_{2}x+a_3{x}^2+\cdots a_n{x}^{n-1}$，则 $A=f(J)$，又 $|\lambda I_n-J|={\lambda }^n-1$，则 $J$ 的特征值为
$${\omega }_k=\exp (\frac{2k\pi i}{n}),0\le k\le n-1$$

从而 $A$ 的特征值为 $f({\omega }_0),f({\omega }_1),\dots ,f({\omega }_{n-1})$

命题：幂零矩阵的特征值
$n$ 阶矩阵 $A$ 是幂零矩阵当且仅当 $A$ 的特征值全为零

证明
幂零矩阵即存在 $k$，使得 $A^k=0$，则对任意 $A$ 的特征值 $\lambda$，有 ${\lambda }^k=0$，即 $\lambda =0$

反过来，若 $A$ 的特征值全为零，则存在可逆阵 $P$，使得 $B=P^{-1}AP$ 是上三角阵且对角线元素均为零，则 $A^n=P{B}^n{P}^{-1}=0$

命题：伴随矩阵的特征值
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，则 $A^{\ast }$ 的全体特征值为 $\prod _{i\ne 1}{\lambda }_i,\prod _{i\ne 2}{\lambda }_i,\dots ,\prod _{i\ne n}{\lambda }_i$

证明
由于任意 $n$ 阶矩阵均复相似于上三角矩阵，故设
$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

由于上三角的伴随矩阵仍为上三角，则
$$P^{-1}{A}^{\ast }P=P^{\ast }{A}^{\ast }(P^{-1}{)}^{\ast }=(P^{-1}AP{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}\prod _{i\ne 1}{\lambda }_i& \ast & \cdots & \ast \\ 0& \prod _{i\ne 2}{\lambda }_i& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \prod _{i\ne n}{\lambda }_i\end{array}\right)$$

参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著