矩阵代数与MATLAB实现(特征值、广义特征值、)

2023-12-06 16:34:07
开发
46

矩阵代数的相关知识

一、特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

提示：以下是本篇文章正文内容，写文章实属不易，希望能帮助到各位，转载请附上链接。

一、特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

令 $\textbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n},\textbf{e}\in \mathbb{C}^{n}$ ,若标量 $\lambda$ 和非零向量 $\textbf{e}$ 满足方程

$\textbf{Ae}=\lambda \textbf{e},\textbf{e}\neq 0$

则称 $\lambda$ 是矩阵 $\textbf{A}$ 的特征值， $\textbf{e}$ 是与 $\lambda$ 对应的特征向量。特征值可能为零，但特征向量一定非零。特征值与特征向量总是成对出现，称 $(\lambda ,\textbf{e})$ 为矩阵 $\textbf{A}$ 的特征对。

2、MATLAB计算

%% 特征值与特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
[V,D]=eig(A) %V的每一列是特征向量，D的对角元素是特征值
A*V(:,1)
-1*V(:,1)

二、广义特征值与广义特征向量

1、广义特征值与广义特征向量

令 $\textbf{A},\textbf{B}\in \mathbb{C}^{n\times n},\textbf{e}\in \mathbb{C}^{n}$ ,若标量 $\lambda$ 和非零向量 $\textbf{e}$ 满足方程

$\textbf{Ae}=\lambda \textbf{B}\textbf{e},\textbf{e}\neq 0$

则称 $\lambda$ 是矩阵 $\textbf{A}$ 相对于矩阵 $\textbf{B}$ 的广义特征值， $\textbf{e}$ 是与 $\lambda$ 对应的广义特征向量。特别的，当矩阵 $\textbf{B}$ 为单位阵时，就成了普通的特征值问题。

2、MATLAB计算

%% 广义特征值与广义特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
B=[2 -1 1;0 3 -1;2 1 3];
[V,D]=eig(A,B) %V的每一列是广义特征向量，D的对角元素是广义特征值
A*V(:,1)
-1.3011*B*V(:,1)

三、酋矩阵

1、酋矩阵

若 $\textbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ,如果 $\textbf{AA}^{H}=\textbf{A}^{H}\textbf{A}=\textbf{I}$ ，其中'H'表示共轭转置， $\textbf{I}$ 表示单位矩阵，则称矩阵 $\textbf{A}$ 为酋矩阵。对于酋矩阵， $\textbf{A}^{H}=\textbf{A}^{-1}$ 。

2、MATLAB计算

%% 酋矩阵验证
A=[(-1-1i)/2 (-1-1i)/2;(1+1i)/2 (-1-1i)/2]
inv_A=inv(A)
A*A'

四、矩阵的奇异值分解

1、奇异值

对于复矩阵 $\textbf{A}_{m\times n}$ ，称 $\textbf{A}^{H}\textbf{A}$ 的n个特征根的算术根 $\sigma _{i}=\sqrt{\lambda _{i}}(i=1,2,...,n)$ 为它的奇异值。记矩阵 $\textbf{A}$ 的奇异值矩阵为

$\sum_{m\times n} =\begin{pmatrix} \sigma _{1}& & & & & \\ & ... & & & & \\ & & \sigma _{r}& & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & ... & \\ & & & & & 0 \end{pmatrix}$

其中， $\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{r}$ 是矩阵 $\textbf{A}$ 的全部非零奇异值。

奇异值分解定理：对于 $m\times n$ 维矩阵 $\textbf{A}$ ，分别存在一个 $m\times m$ 维酋矩阵 $\textbf{U}$ 和一个 $n\times n$ 维酋矩阵 $\textbf{V}$ ，使得

$\textbf{A}=\textbf{U}\sum \textbf{V}^{H}$

2、MATLAB计算

%% 矩阵奇异值分解验证
A=[2+i 1-i 2+i;2-i 3+i 2+i]
[U S V]=svd(A) %计算矩阵A的奇异值矩阵S和两个酋矩阵U和V
U*S*V'   %验证分解是否正确
U*U'     %验证U是否为酋矩阵
V*V'     %验证V是否为酋矩阵

五、托普利兹矩阵(Toeplitz)

1、托普利兹矩阵

定义：由 $2n-1$ 个元素构成的n阶矩阵

$\textbf{A}=\begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \cdots &a_{-n+1} \\ a_{1} & a_{0} & a_{-1} &\cdots& a_{-n+2} \\ a_{2} & a_{1}& a_{0} &\cdots & a_{-n+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1}& a_{n-2} & a_{n-3}& \cdots & a_{0} \end{bmatrix}$

称为Toeplitz矩阵，简称为T矩阵。

例如，当n=4时，由 $a_{3},a_{2},a_{1},a_{0},a_{-1},a_{-2},a_{-3}$ 这7个元素构成的4阶矩阵为

$\textbf{A}_{4\times 4}=\begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} &a_{-3} \\ a_{1} & a_{0} & a_{-1} &a_{-2} \\ a_{2} & a_{1}& a_{0} & a_{-1} \\ a_{3}& a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{bmatrix}$

T矩阵也可简记为

$A=(a_{-j+i})_{1}^{n}$

其中， $i,j=1,2,\cdots ,n$ 。T矩阵完全由第一行和第一列的2n-1个元素确定。可见，T矩阵中位于任意一条平行于主对角线的元素全都是相等的，且关于副对角线对称。

2、MATLAB计算

%% 创建一个托普利兹矩阵
n=[1 2 3 4]; 
A=toeplitz(n)  %用向量n创建一个对称T矩阵
m=[1 5 6 7];
B=toeplitz(m,n) %用向量n和m创建一个对称T矩阵，注意n和m的第一个元素要相同

六、汉克尔矩阵(Hankel)

1、汉克尔矩阵

定义：具有如下形式的n+1阶矩阵

$\textbf{H}=\begin{bmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} &\cdots& a_{n+1} \\ a_{2} & a_{3}& a_{4} &\cdots & a_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}& a_{n+1} & a_{n+2}& \cdots & a_{2n} \end{bmatrix}$

称为Hankel矩阵。可见，Hankel矩阵完全由其第1行和第n+1列的2n+1个元素确定。其中，所有垂直于主对角的直线上有相等的元素。

2、MATLAB计算

%% 创建一个汉克尔矩阵
n=[4 3 2 1]; 
A=hankel(n)  %用向量n创建一个汉克尔矩阵，第1列元素为n，反三角以下元素为0
m=[5 6 7 4];
B=hankel(m,n) %用向量n和m创建一个汉克尔矩阵，注意m的第一个元素和n的最后一个元素要相同

七、范德蒙矩阵(Vandermonde)

1、范德蒙矩阵

定义：具有如下形式的n×n阶矩阵

$\textbf{V}=\begin{bmatrix} 1& 1& 1&\cdots &1 \\ x_{1}& x_{2}& x_{3} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2}& x_{2}^{2}& x_{3}^{2}& \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots &\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x_{1}^{n-1}& x_{2}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{bmatrix}$

称为范德蒙矩阵，如果 $x_{i}\neq x_{j}$ ，那么V是非奇异（可逆）的。

2、MATLAB计算

%% 创建一个范德蒙矩阵
n=[1 2 3 4 5]; 
A=vander(n)  %用向量n创建一个范德蒙方阵
B=rot90(A)   %逆时针旋转90°,标准化范德蒙方阵

八、未完待续

总结

以上就是要讲的内容，本文介绍了矩阵代数的相关知识及其MATLAB的计算，希望对大家有所帮助。

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