李沐动手学深度学习-梯度下降

梯度下降

梯度下降（gradient descent）很少直接用于深度学习。例如，由于学习率过大，优化问题可能会发散，这种现象早已在梯度下降中出现。同样地，预处理（preconditioning）是梯度下降中的一种常用技术，还被沿用到更高级的算法中。让我们从简单的一维梯度下降开始。

一维梯度下降

考虑一类连续可微实值函数 $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ，利用泰勒展开，我们可以得到

$\epsilon) = f(x) + \epsilon f'(x) + \mathcal{O}(\epsilon^2).$

即在一阶近似中， $f(x+\epsilon)$ 可通过 $x$ 处的函数值 $f (x)$ 和一阶导数 $f^{'} (x)$ 得出。我们可以假设在负梯度方向上移动的 $\epsilon$ 会减少 $f$ 。为了简单起见，我们选择固定步长 $\eta > 0$ ，然后取 $\epsilon = -\eta f'(x)$ 。将其代入泰勒展开式我们可以得到

$\eta f'(x)) = f(x) - \eta f'^2(x) + \mathcal{O}(\eta^2 f'^2(x)).$

如果其导数 $\neq 0$ 没有消失，我们就能继续展开，这是因为 $\eta f'^2(x)>0$ 。此外，我们总是可以令 $\eta$ 小到足以使高阶项变得不相关。因此，

$\eta f'(x)) \lessapprox f(x).$

这意味着，如果我们使用

$\leftarrow x - \eta f'(x)$

来迭代 $x$ ，函数 $f (x)$ 的值可能会下降。因此，在梯度下降中，我们首先选择初始值 $x$ 和常数 $\eta > 0$ ，然后使用它们连续迭代 $x$ ，直到停止条件达成。例如，当梯度 $∣ f^{'} (x) ∣$ 的幅度足够小或迭代次数达到某个值时。

我们选用目标函数 $f(x)=x^2$ 。我们知道 $x = 0$ 时 $f (x)$ 能取得最小值，使用这个简单的函数来观察 $x$ 的变化。

%matplotlib inline
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

def f(x):  # 目标函数
    return x ** 2

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度(导数)
    return 2 * x

我们使用 $x = 10$ 作为初始值，并假设 $\eta=0.2$ 。使用梯度下降法迭代 $x$ 共10次，我们可以看到， $x$ 的值最终将接近最优解。

def gd(eta, f_grad):
    x = 10.0
    results = [x]
    for i in range(10):
        x -= eta * f_grad(x)
        results.append(float(x))
    print(f'epoch 10, x: {x:f}')
    return results

results = gd(0.2, f_grad)

epoch 10, x: 0.060466

对进行 $x$ 优化的过程可以绘制如下。

def show_trace(results, f):
    n = max(abs(min(results)), abs(max(results)))
    f_line = torch.arange(-n, n, 0.01)
    d2l.set_figsize()
    d2l.plot([f_line, results], [[f(x) for x in f_line], [
        f(x) for x in results]], 'x', 'f(x)', fmts=['-', '-o'])

show_trace(results, f)

在这里插入图片描述

学习率

学习率（learning rate）决定目标函数能否收敛到局部最小值，以及何时收敛到最小值。学习率 $\eta$ 可由算法设计者设置。如果学习率太小，将导致 $x$ 的更新非常缓慢，需要更多的迭代。例如，考虑同一优化问题中 $\eta = 0.05$ 的进度：

show_trace(gd(0.05, f_grad), f)

epoch 10, x: 3.486784

在这里插入图片描述
相反，如果我们使用过高的学习率， $\left|\eta f'(x)\right|$ 对于一阶泰勒展开式可能太大。也就是说， $\mathcal{O}(\eta^2 f'^2(x))$ 可能变得显著了。在这种情况下， $x$ 的迭代不能保证降低 $f (x)$ 的值。例如，当学习率为 $\eta=1.1$ 时， $x$ 超出了最优解 $x = 0$ 并逐渐发散。

show_trace(gd(1.1, f_grad), f)

epoch 10, x: 61.917364

在这里插入图片描述

局部最小值

为了演示非凸函数的梯度下降，考虑函数 $\cdot \cos(cx)$ ，其中 $c$ 为某常数。这个函数有无穷多个局部最小值。根据我们选择的学习率，我们最终可能只会得到许多解的一个。下面的例子说明了（不切实际的）高学习率如何导致较差的局部最小值。

c = torch.tensor(0.15 * np.pi)

def f(x):  # 目标函数
    return x * torch.cos(c * x)

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度
    return torch.cos(c * x) - c * x * torch.sin(c * x)

show_trace(gd(2, f_grad), f)

epoch 10, x: -1.528166

在这里插入图片描述

多元梯度下降

现在我们考虑一下 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_d]^\top$ 的情况。即目标函数 $\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 将向量映射成标量。相应地，梯度也是多元的，它是一个由 $d$ 个偏导数组成的向量：

$\nabla f(\mathbf{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_d}\bigg]^\top.$

梯度中的每个偏导数元素 $\partial f(\mathbf{x})/\partial x_i$ 代表了当输入 $x_i$ 时 $f$ 在 $\mathbf{x}$ 处的变化率。具体来说，

$f(\mathbf{x} + \boldsymbol{\epsilon}) = f(\mathbf{x}) + \mathbf{\boldsymbol{\epsilon}}^\top \nabla f(\mathbf{x}) + \mathcal{O}(\|\boldsymbol{\epsilon}\|^2).$

即在 $\boldsymbol{\epsilon}$ 的二阶项中，最陡下降的方向由负梯度 $-\nabla f(\mathbf{x})$ 得出。选择合适的学习率 $\eta > 0$ 来生成典型的梯度下降算法：

$\mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x} - \eta \nabla f(\mathbf{x}).$

我们构造一个目标函数 $f(\mathbf{x})=x_1^2+2x_2^2$ ，并有二维向量 $\mathbf{x} = [x_1, x_2]^\top$ 作为输入，标量作为输出。梯度由 $\nabla f(\mathbf{x}) = [2x_1, 4x_2]^\top$ 给出。我们将从初始位置 $[- 5, - 2]$ 通过梯度下降观察 $\mathbf{x}$ 的轨迹。

我们还需要两个辅助函数：第一个是update函数，并将其应用于初始值20次；第二个函数会显示 $\mathbf{x}$ 的轨迹。

def train_2d(trainer, steps=20, f_grad=None):  #@save
    """用定制的训练机优化2D目标函数"""
    # s1和s2是稍后将使用的内部状态变量
    x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
    results = [(x1, x2)]
    for i in range(steps):
        if f_grad:
            x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2, f_grad)
        else:
            x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
        results.append((x1, x2))
    print(f'epoch {i + 1}, x1: {float(x1):f}, x2: {float(x2):f}')
    return results

def show_trace_2d(f, results):  #@save
    """显示优化过程中2D变量的轨迹"""
    d2l.set_figsize()
    d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
    x1, x2 = torch.meshgrid(torch.arange(-5.5, 1.0, 0.1),
                          torch.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
    d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
    d2l.plt.xlabel('x1')
    d2l.plt.ylabel('x2')

我们观察学习率 $\eta = 0.1$ 时优化变量 $\mathbf{x}$ 的轨迹。可以看到，经过20步之后， $\mathbf{x}$ 的值接近其位于 $[0, 0]$ 的最小值。虽然进展相当顺利，但相当缓慢。

def f_2d(x1, x2):  # 目标函数
    return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

def f_2d_grad(x1, x2):  # 目标函数的梯度
    return (2 * x1, 4 * x2)

def gd_2d(x1, x2, s1, s2, f_grad):
    g1, g2 = f_grad(x1, x2)  # 梯度下降核心 对每个x计算梯度
    return (x1 - eta * g1, x2 - eta * g2, 0, 0)

eta = 0.1
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d, f_grad=f_2d_grad))

epoch 20, x1: -0.057646, x2: -0.000073

在这里插入图片描述

自适应方法

选择“恰到好处”的学习率 $\eta$ 是很棘手的。如果我们把它选得太小，就没有什么进展；如果太大，得到的解就会振荡，甚至可能发散。如果我们可以自动确定 $\eta$ ，或者完全不必选择学习率，会怎么样？除了考虑目标函数的值和梯度、还考虑它的曲率的二阶方法可以帮我们解决这个问题。虽然由于计算代价的原因，这些方法不能直接应用于深度学习，但它们为如何设计高级优化算法提供了有用的思维直觉，这些算法可以模拟下面概述的算法的许多理想特性。

牛顿法

回顾一些函数 $\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ 的泰勒展开式，事实上我们可以把它写成

$f(\mathbf{x} + \boldsymbol{\epsilon}) = f(\mathbf{x}) + \boldsymbol{\epsilon}^\top \nabla f(\mathbf{x}) + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon}^\top \nabla^2 f(\mathbf{x}) \boldsymbol{\epsilon} + \mathcal{O}(\|\boldsymbol{\epsilon}\|^3).$

为了避免繁琐的符号，我们将 $\mathbf{H} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \nabla^2 f(\mathbf{x})$ 定义为 $f$ 的Hessian，是 $\times d$ 矩阵。当 $d$ 的值很小且问题很简单时， $\mathbf{H}$ 很容易计算。但是对于深度神经网络而言，考虑到 $\mathbf{H}$ 可能非常大， $\mathcal{O}(d^2)$ 个条目的存储代价会很高，此外通过反向传播进行计算可能雪上加霜。然而，我们姑且先忽略这些考量，看看会得到什么算法。
在这里插入图片描述

毕竟， $f$ 泰勒展开的导数，再忽略不重要的高阶项，我们便得到

$\nabla f(\mathbf{x}) + \mathbf{H} \boldsymbol{\epsilon} = 0 \text{ and hence } \boldsymbol{\epsilon} = -\mathbf{H}^{-1} \nabla f(\mathbf{x}).$

也就是说，作为优化问题的一部分，我们需要将Hessian矩阵 $\mathbf{H}$ 求逆。

对于 $\frac{1}{2} x^2$ ，我们有 $\nabla f(x) = x$ 和 $\mathbf{H} = 1$ 。因此，对于任何 $x$ ，我们可以获得 $\epsilon = -x$ 。换言之，单单一步就足以完美地收敛，而无须任何调整。我们在这里比较幸运：泰勒展开式是确切的，因为 $f(x+\epsilon)= \frac{1}{2} x^2 + \epsilon x + \frac{1}{2} \epsilon^2$ 。

给定一个凸双曲余弦函数 $c$ ，其中 $c$ 为某些常数，我们可以看到经过几次迭代后，得到了 $x = 0$ 处的全局最小值。

c = torch.tensor(0.5)

def f(x):  # O目标函数
    return torch.cosh(c * x)

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度
    return c * torch.sinh(c * x)

def f_hess(x):  # 目标函数的Hessian
    return c**2 * torch.cosh(c * x)

def newton(eta=1):
    x = 10.0
    results = [x]
    for i in range(10):
        x -= eta * f_grad(x) / f_hess(x)
        results.append(float(x))
    print('epoch 10, x:', x)
    return results

show_trace(newton(), f)

epoch 10, x: tensor(0.)

在这里插入图片描述
现在让我们考虑一个非凸函数，比如 $\cos(c x)$ ， $c$ 为某些常数。请注意在牛顿法中，我们最终将除以Hessian。这意味着如果二阶导数是负的， $f$ 的值可能会趋于增加。这是这个算法的致命缺陷！让我们看看实践中会发生什么。

c = torch.tensor(0.15 * np.pi)

def f(x):  # 目标函数
    return x * torch.cos(c * x)

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度
    return torch.cos(c * x) - c * x * torch.sin(c * x)

def f_hess(x):  # 目标函数的Hessian
    return - 2 * c * torch.sin(c * x) - x * c**2 * torch.cos(c * x)

show_trace(newton(), f)

epoch 10, x: tensor(26.8341)

在这里插入图片描述
一种方法是用取Hessian的绝对值来修正，另一个策略是重新引入学习率。这似乎违背了初衷，但不完全是——拥有二阶信息可以使我们在曲率较大时保持谨慎，而在目标函数较平坦时则采用较大的学习率。让我们看看在学习率稍小的情况下它是如何生效的，比如 $\eta = 0.5$ 。如我们所见，我们有了一个相当高效的算法。

show_trace(newton(0.5), f)

epoch 10, x: tensor(7.2699)

在这里插入图片描述

收敛性分析

在此，我们以部分目标凸函数 $f$ 为例，分析它们的牛顿法收敛速度。
这些目标凸函数三次可微，而且二阶导数不为零，即 $f^{''} > 0$ 。
由于多变量情况下的证明是对以下一维参数情况证明的直接拓展，对我们理解这个问题不能提供更多帮助，因此我们省略了多变量情况的证明。

用 $x^{(k)}$ 表示 $x$ 在第 $k^\mathrm{th}$ 次迭代时的值，
令 $e^{(k)} \stackrel{\mathrm{def}}{=} x^{(k)} - x^*$ 表示 $k^\mathrm{th}$ 迭代时与最优性的距离。
通过泰勒展开，我们得到条件 $f'(x^*) = 0$ 可以写成

$f'(x^{(k)} - e^{(k)}) = f'(x^{(k)}) - e^{(k)} f''(x^{(k)}) + \frac{1}{2} (e^{(k)})^2 f'''(\xi^{(k)}),$

这对某些 $\xi^{(k)} \in [x^{(k)} - e^{(k)}, x^{(k)}]$ 成立。
将上述展开除以 $f''(x^{(k)})$ 得到

$e^{(k)} - \frac{f'(x^{(k)})}{f''(x^{(k)})} = \frac{1}{2} (e^{(k)})^2 \frac{f'''(\xi^{(k)})}{f''(x^{(k)})}.$

回想之前的方程 $x^{(k+1)} = x^{(k)} - f'(x^{(k)}) / f''(x^{(k)})$ 。
代入这个更新方程，取两边的绝对值，我们得到

$\left|e^{(k+1)}\right| = \frac{1}{2}(e^{(k)})^2 \frac{\left|f'''(\xi^{(k)})\right|}{f''(x^{(k)})}.$

因此，每当我们处于有界区域 $\left|f'''(\xi^{(k)})\right| / (2f''(x^{(k)})) \leq c$ ，
我们就有一个二次递减误差

$\left|e^{(k+1)}\right| \leq c (e^{(k)})^2.$

另一方面，优化研究人员称之为“线性”收敛，而将 $\left|e^{(k+1)}\right| \leq \alpha \left|e^{(k)}\right|$ 这样的条件称为“恒定”收敛速度。
请注意，我们无法估计整体收敛的速度，但是一旦我们接近极小值，收敛将变得非常快。
另外，这种分析要求 $f$ 在高阶导数上表现良好，即确保 $f$ 在如何变化它的值方面没有任何“超常”的特性。

预处理

计算和存储完整的Hessian非常昂贵，而改善这个问题的一种方法是“预处理”。
它回避了计算整个Hessian，而只计算“对角线”项，即如下的算法更新：

$\mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x} - \eta \mathrm{diag}(\mathbf{H})^{-1} \nabla f(\mathbf{x}).$

虽然这不如完整的牛顿法精确，但它仍然比不使用要好得多。
为什么预处理有效呢？
假设一个变量以毫米表示高度，另一个变量以公里表示高度的情况。
假设这两种自然尺度都以米为单位，那么我们的参数化就出现了严重的不匹配。
幸运的是，使用预处理可以消除这种情况。
梯度下降的有效预处理相当于为每个变量选择不同的学习率（矢量 $\mathbf{x}$ 的坐标）。
我们将在后面一节看到，预处理推动了随机梯度下降优化算法的一些创新。

梯度下降和线搜索

梯度下降的一个关键问题是我们可能会超过目标或进展不足，
解决这一问题的简单方法是结合使用线搜索和梯度下降。
也就是说，我们使用 $\nabla f(\mathbf{x})$ 给出的方向，
然后进行二分搜索，以确定哪个学习率 $\eta$ 使 $f(\mathbf{x} - \eta \nabla f(\mathbf{x}))$ 取最小值。