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什么是二叉搜索树
如图所示，二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。
- 对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值。
- 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件
1.。
二分搜索树有着高效的插入、删除、查询操作。
平均时间的时间复杂度为 O(log n)，最差情况为 O(n)。二分搜索树与堆不同，不一定是完全二叉树，底层不容易直接用数组表示故采用链表来实现二分搜索树。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
| 查找元素 | 插入元素 | 删除元素 | |
|---|---|---|---|
| 普通数组 | O(n) | O(n) | O(n) |
| 顺序数组 | O(logn) | O(n) | O(n) |
| 二分搜索树 | O(logn) | O(logn) | O(logn) |
二叉搜索树的特性
(1)顺序性
二分搜索树可以当做查找表的一种实现。
我们使用二分搜索树的目的是通过查找 key 马上得到 value。minimum、maximum、successor（后继）、predecessor（前驱）、floor（地板）、ceil（天花板、rank（排名第几的元素）、select（排名第n的元素是谁）这些都是二分搜索树顺序性的表现。
(2)局限性
二分搜索树在时间性能上是具有局限性的。
在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 log𝑛 轮循环内查找任意节点。
然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为如图所示的链表，相应的，二叉搜索树的查找操作是和这棵树的高度相关的，而此时这颗树的高度就是这颗树的节点数 n，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 𝑂(𝑛) 。
二叉搜索树的应用
- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
- 用于存储数据流，以保持其有序状态
二叉搜索树的操作
(1)查找节点
给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图 7-17 所示，我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。
- 若
cur.val < num，说明目标节点在cur的右子树中，因此执行cur = cur.right。 - 若
cur.val > num，说明目标节点在cur的左子树中，因此执行cur = cur.left。 - 若
cur.val = num，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 𝑂(log𝑛) 时间。示例代码如下：
/* 查找节点 */
TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
TreeNode *cur = bst->root;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while (cur != NULL) {
if (cur->val < num) {
// 目标节点在 cur 的右子树中
cur = cur->right;
} else if (cur->val > num) {
// 目标节点在 cur 的左子树中
cur = cur->left;
} else {
// 找到目标节点，跳出循环
break;
}
}
// 返回目标节点
return cur;
}通过查找节点的方法，我们可以完成98. 验证二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
bool isValidBSTHelper(struct TreeNode* root, long min_val, long max_val) {
// 如果根节点为空，直接返回 true，因为空树也是 BST
if (root == NULL) {
return true;
}
// 检查当前节点值是否在范围内
if (root->val <= min_val || root->val >= max_val) {
return false;
}
// 递归检查左右子树，更新范围
return isValidBSTHelper(root->left, min_val, root->val) &&
isValidBSTHelper(root->right, root->val, max_val);
}
bool isValidBST(struct TreeNode* root) {
// 使用 long 类型的最小值和最大值作为初始范围
return isValidBSTHelper(root, LONG_MIN, LONG_MAX);
}(2)插入节点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图所示。
- 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和
num的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至None）时跳出循环。 - 在该位置插入节点：初始化节点
num，将该节点置于None的位置。
在代码实现中，需要注意以下两点。
- 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
- 为了实现插入节点，我们需要借助节点
pre保存上一轮循环的节点。这样在遍历至None时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
代码范例如下，与查找节点相同，插入节点使用 𝑂(log𝑛) 时间。
/* 插入节点 */
void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
// 若树为空，则初始化根节点
if (bst->root == NULL) {
bst->root = newTreeNode(num);
return;
}
TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while (cur != NULL) {
// 找到重复节点，直接返回
if (cur->val == num) {
return;
}
pre = cur;
if (cur->val < num) {
// 插入位置在 cur 的右子树中
cur = cur->right;
} else {
// 插入位置在 cur 的左子树中
cur = cur->left;
}
}
// 插入节点
TreeNode *node = newTreeNode(num);
if (pre->val < num) {
pre->right = node;
} else {
pre->left = node;
}
}通过插入节点的方法，我们可以完成701. 二叉搜索树中的插入操作 - 力扣（LeetCode）
struct TreeNode* createTreeNode(int val) {
struct TreeNode* ret = malloc(sizeof(struct TreeNode));
// 设置节点值
ret->val = val;
// 左右子节点为空
ret->left = ret->right = NULL;
// 返回新创建的节点
return ret;
}
struct TreeNode* insertIntoBST(struct TreeNode* root, int val) {
// 如果根节点为空，直接将新节点作为根节点返回
if (root == NULL) {
root = createTreeNode(val);
return root;
}
// 定义游标节点为根节点
struct TreeNode* pos = root;
// 循环查找插入位置
while (pos != NULL) {
// 如果 val 小于当前节点值
if (val < pos->val) {
// 如果当前节点的左子节点为空，将新节点插入左子节点位置
if (pos->left == NULL) {
pos->left = createTreeNode(val);
break;
} else {
// 否则继续向左子树查找插入位置
pos = pos->left;
}
} else {
// 如果 val 大于等于当前节点值
// 如果当前节点的右子节点为空，将新节点插入右子节点位置
if (pos->right == NULL) {
pos->right = createTreeNode(val);
break;
} else {
// 否则继续向右子树查找插入位置
pos = pos->right;
}
}
}
// 返回根节点
return root;
}(3)删除节点
先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。
如图所示，当待删除节点的度为 0 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
如下图所示，当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。
假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。
- 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为
tmp。 - 用
tmp的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点tmp。
删除节点操作同样使用 𝑂(log𝑛) 时间，其中查找待删除节点需要 𝑂(log𝑛) 时间，获取中序遍历后继节点需要 𝑂(log𝑛) 时间。示例代码如下：
/* 删除节点 */
// 由于引入了 stdio.h ，此处无法使用 remove 关键词
void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
// 若树为空，直接提前返回
if (bst->root == NULL)
return;
TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while (cur != NULL) {
// 找到待删除节点，跳出循环
if (cur->val == num)
break;
pre = cur;
if (cur->val < num) {
// 待删除节点在 root 的右子树中
cur = cur->right;
} else {
// 待删除节点在 root 的左子树中
cur = cur->left;
}
}
// 若无待删除节点，则直接返回
if (cur == NULL)
return;
// 判断待删除节点是否存在子节点
if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
/* 子节点数量 = 0 or 1 */
// 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
// 删除节点 cur
if (pre->left == cur) {
pre->left = child;
} else {
pre->right = child;
}
// 释放内存
free(cur);
} else {
/* 子节点数量 = 2 */
// 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
TreeNode *tmp = cur->right;
while (tmp->left != NULL) {
tmp = tmp->left;
}
int tmpVal = tmp->val;
// 递归删除节点 tmp
removeItem(bst, tmp->val);
// 用 tmp 覆盖 cur
cur->val = tmpVal;
}
}除了迭代方法外，我们还可以使用递归方法来删除节点，下面的力扣题给出的方法就是递归方法。450. 删除二叉搜索树中的节点 - 力扣（LeetCode）
// 从二叉搜索树 root 中删除值为 key 的节点
struct TreeNode* deleteNode(struct TreeNode* root, int key) {
// 如果根节点为空，直接返回 NULL
if (root == NULL) {
return NULL;
}
// 如果 key 小于当前节点值，递归删除左子树中的节点
if (root->val > key) {
root->left = deleteNode(root->left, key);
return root;
}
// 如果 key 大于当前节点值，递归删除右子树中的节点
if (root->val < key) {
root->right = deleteNode(root->right, key);
return root;
}
// 如果当前节点值等于 key
if (root->val == key) {
// 如果当前节点没有左右子节点，直接返回 NULL
if (!root->left && !root->right) {
return NULL;
}
// 如果只有右子节点，返回右子节点
if (!root->right) {
return root->left;
}
// 如果只有左子节点，返回左子节点
if (!root->left) {
return root->right;
}
// 如果既有左子节点又有右子节点
// 找到右子树中最小的节点作为当前节点的替代节点
struct TreeNode *successor = root->right;
while (successor->left) {
successor = successor->left;
}
// 递归删除右子树中的最小节点
root->right = deleteNode(root->right, successor->val);
// 将替代节点的右子树连接到当前节点的右子树
successor->right = root->right;
// 将替代节点的左子树连接到当前节点的左子树
successor->left = root->left;
// 返回替代节点作为当前节点的父节点的子节点
return successor;
}
// 返回根节点
return root;
}
(4)中序遍历
如图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 → 根 → 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根节点 < 右子节点”的大小关系。
这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。
利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 𝑂(𝑛) 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。
利用二叉搜索树中序遍历升序，我们可以完成 530. 二叉搜索树的最小绝对差
void traversal(struct TreeNode* cur, struct TreeNode** pre, int *result) {
if (cur == NULL) return;
//BST中序遍历是升序
traversal(cur->left, pre, result); // 左
if (*pre != NULL){ // 中
*result = fmin(*result, cur->val - (*pre)->val);
}
*pre = cur; // 记录前一个
traversal(cur->right, pre, result); // 右
}
int getMinimumDifference(struct TreeNode* root) {
int result = 114514;
struct TreeNode* pre = NULL; // 初始值为NULL
traversal(root, &pre, &result); // 传递pre的指针的指针
return result;
}
