在计算机科学中，数据结构是构建高效算法的基石。二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）作为一种基本的数据结构，不仅在理论学习中占有重要地位，也在实际应用中广泛使用。本文将深入探讨BST的原理、特点和应用，并提供一个C++实现的示例，帮助读者更好地理解和运用这一结构。
什么是二叉搜索树？
二叉搜索树是一种具有以下特性的二叉树：
- 每个节点都包含一个键（key）和最多两个子节点。
- 左子节点的键值总是小于其父节点的键值。
- 右子节点的键值总是大于或等于其父节点的键值。
- 每个子树也都是二叉搜索树。
这些特性使得BST在数据存储、搜索、插入和删除操作上非常高效。
C++中的BST实现
我们以一个简单的模板类来实现BST。这个实现包含了节点的定义、树的基本操作（如插入、搜索、删除）和辅助功能（如打印树结构）。
节点类定义
我们首先定义一个内部的Node类，用于存储树中的数据和子节点的指针
#include<iostream>
using namespace std;
template<typename T>
class BST {
// ... [类定义，包括私有Node类和方法定义]
public:
BST() : root(nullptr) {}
~BST() { deleteTree(root); }
void insert(T data) { root = insert(root, data); }
bool search(T data) { return search(root, data); }
void remove(T data) { root = remove(root, data); }
void print() { printTree(root); cout << endl; }
};
使用BST类
要使用这个BST类，您只需创建一个BST对象，并使用其方法来操作树
BST<int> myTree;
myTree.insert(5);
myTree.insert(3);
myTree.insert(7);
myTree.remove(3);
if (myTree.search(7)) {
cout << "找到了数字7!" << endl;
}
myTree.print();
树的操作方法
BST类主要包括插入、搜索和删除节点的方法。这些方法利用BST的特性，通过递归操作来管理树的结构。
在private中实现以下内容，在public中进行调用
插入操作
插入操作首先判断当前节点是否为空，然后根据值的大小递归地插入左子树或右子树。
Node* insert(Node* node, T data) {
if (node == nullptr) {
return new Node(data);
}
if (data < node->data) {
node->left = insert(node->left, data);
} else if (data > node->data) {
node->right = insert(node->right, data);
}
return node;
}
搜索操作
搜索操作检查树中是否存在特定值的节点，利用BST的性质来提高搜索效率。
bool search(Node* node, T data) {
if (node == nullptr) {
return false;
}
if (data < node->data) {
return search(node->left, data);
} else if (data > node->data) {
return search(node->right, data);
}
return true;
}
删除操作
删除操作是最复杂的，需要处理三种情况：
- 被删除节点没有子节点
- 有一个子节点
- 有左右两个节点
//删除节点
Node* remove(Node* root, T data) {
//找到要删除的节点
if (root == nullptr) return root;
//如果要删除的节点小于根节点，递归左子树
if (data < root->data) {
root->left = remove(root->left, data);
}//如果要删除的节点大于根节点，递归右子树
else if (data > root->data) {
root->right = remove(root->right, data);
}//如果要删除的节点等于根节点
else {
//如果要删除的节点没有左子树
if (root->left == nullptr) {
Node* temp = root->right;
delete root;
return temp;
}//如果要删除的节点没有右子树
else if (root->right == nullptr) {
Node* temp = root->left;
delete root;
return temp;
}
//如果要删除的节点有左右子树
//找到右子树中最小的节点
//将该节点的值赋值给要删除的节点
//删除该节点
Node* temp = findMinNode(root->right);
root->data = temp->data;
root->right = remove(root->right, temp->data);
}
//返回根节点
return root;
}打印树结构
我们还实现了一个辅助方法来打印树的内容，这有助于验证树的结构和操作是否正确。
void printTree(Node* root) {
if (root != nullptr) {
printTree(root->left);
cout << root->data << "\t";
printTree(root->right);
}
}
在public中调用
public:
// Constructor
BST() : root(nullptr) {}
// Destructor
~BST() {
deleteTree(root);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
void insert(T data) {
//如果根节点为空，直接插入
root = insert(root, data);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
bool search(T data) {
//如果根节点为空，返回false
return search(root, data);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
void remove(T data) {
//如果根节点为空，直接返回
root = remove(root, data);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
void print() {
printTree(root);
std::cout << endl;
}代码实现
#include<iostream>
using namespace std;
// Purpose: Implementation of BST class
template<typename T>
class BST {
private:
// Purpose: Node class for BST
class Node {
public:
T data;
Node* left;
Node* right;
// Constructor
Node(T newdata) : data(newdata), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
Node* root;
//插入节点
Node* insert(Node* node, T data) {
//如果节点为空，返回新节点
if (node == nullptr) {
return new Node(data);
}//如果节点不为空，判断要插入的值与节点的值的大小
if (data < node->data) {
node->left = insert(node->left, data);
}//如果要插入的值小于节点的值，递归左子树
else if (data > node->data) {
node->right = insert(node->right, data);
}//如果要插入的值大于节点的值，递归右子树
return node;
}
//查找节点
bool search(Node* node, T data) {
//如果节点为空，返回false
if (node == nullptr) {
return false;
}//如果节点不为空，判断要查找的值与节点的值的大小
else if (data < node->data) {
return search(node->left, data);
}//如果要查找的值大于节点的值，递归右子树
else if (data > node->data) {
return search(node->right, data);
}
//如果要查找的值等于节点的值，返回true
return true;
}
//找到右子树中最小的节点
Node* findMinNode(Node* node) {
//如果节点为空，返回空
Node* current = node;
if (current == nullptr) return current;
//如果节点不为空，一直向左找，直到找到最小的节点
while (current && current->left != nullptr) {
current = current->left;
}
return current;
}
//删除节点
Node* remove(Node* root, T data) {
//找到要删除的节点
if (root == nullptr) return root;
//如果要删除的节点小于根节点，递归左子树
if (data < root->data) {
root->left = remove(root->left, data);
}//如果要删除的节点大于根节点，递归右子树
else if (data > root->data) {
root->right = remove(root->right, data);
}//如果要删除的节点等于根节点
else {
//如果要删除的节点没有左子树
if (root->left == nullptr) {
Node* temp = root->right;
delete root;
return temp;
}//如果要删除的节点没有右子树
else if (root->right == nullptr) {
Node* temp = root->left;
delete root;
return temp;
}
//如果要删除的节点有左右子树
//找到右子树中最小的节点
//将该节点的值赋值给要删除的节点
//删除该节点
Node* temp = findMinNode(root->right);
root->data = temp->data;
root->right = remove(root->right, temp->data);
}
//返回根节点
return root;
}
//删除树
void deleteTree(Node* node) {
if (node) {
//递归删除左右子树
deleteTree(node->left);
deleteTree(node->right);
delete node;
}
}
//打印树
void printTree(Node*root) {
if (!root)return;
cout << root->data << "\t";
printTree(root->left);
printTree(root->right);
}
public:
// Constructor
BST() : root(nullptr) {}
// Destructor
~BST() {
deleteTree(root);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
void insert(T data) {
//如果根节点为空，直接插入
root = insert(root, data);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
bool search(T data) {
//如果根节点为空，返回false
return search(root, data);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
void remove(T data) {
//如果根节点为空，直接返回
root = remove(root, data);
}
//在外部调用时，调用私有成员函数
void print() {
printTree(root);
std::cout << endl;
}
};
结论
通过这个简单的BST实现，我们可以看到BST如何在保持结构的同时提供高效的数据操作。虽然这个实现是基础的（并没有迭代器的设计），但它为理解更复杂的数据结构和算法提供了良好的起点。随着对BST的深入研究，您可以探索更高级的概念，如树的平衡和旋转，以及它们在实际应用中的表现。
![[基本功]决策树](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1d05ad496018d484774c8d8a2164d31a.webp?x-oss-process=image/format,png)
